بخش ۶.۱

گوگل شش سال پس از ظهور شبکه جهانی وب تأسیس شد و کمی دیرتر از رقبا وارد بازار موتورهای جستجو شد. در اواخر دهه 1990 ، آلتا ویستا و اینکتومی ، بازار موتورهای جستجو را در اختیار داشتند. بااین‌حال، گوگل به‌عنوان سومین پیشگام در زمینه موتورهای جستجو، نه‌تنها توانست در مدت‌زمان کوتاهی مهم‌ترین و برجسته‌ترین موتور جستجو شود، بلکه توانست با نرخ باورنکردنی پیوندهایی را کسب کند و سال 2000 به بزرگ‌ترین هاب تبدیل شود[1]. اما این پیشرفت دوام نیاورد و در سال 2011، فیس‌بوک، شرکتی نوپا با استانداردهای گوگل، توانست بزرگ‌ترین هاب وب را در دست بگیرد.

این مثال یکی از محدودیت‌های مهم مدل‌هایی که تاکنون برای شبکه‌ها موردبررسی قراردادیم را آشکار می‌سازد: هیچ‌یک از مدل‌های شبکه‌ای که تاکنون با آن‌ها روبرو شدیم قادر به مدل کردن این رقابت نیستند. درواقع، در مدل اردوش-رینی ، ایجاد بزرگ‌ترین گره، کاملاً تصادفی انجام می‌شود. مدل باراباشی- آلبرت تصویری واقع‌گرایانه‌تر ارائه می‌دهد، این مدل پیش‌بینی می‌کند که هر گره درجه خود را مطابق k(t) ~ t^1/2، افزایش می‌دهد. این بدان معنی است که قدیمی‌ترین گره همیشه بیشترین پیوندها را دارد، پدیده‌ای که در علم بازاریابی به نام برتری اولین پیشگام شناخته می‌شود. به عبارتی گره‌ای که دیرتر ایجاد می‌شود هرگز نمی‌تواند به بزرگ‌ترین هاب تبدیل شود.

در حقیقت، نرخ رشد یک گره تنها به سن آن بستگی ندارد. در عوض ، صفحات وب ، شرکت‌ها یا بازیگران دارای خصوصیات ذاتی‌ای هستند که بر میزان جذب پیوندها تأثیر می‌گذارد. برخی گره‌ها علی‌رغم اینکه دیرتر نمایان می‌شوند ولی در بازه زمانی کوتاهی تعداد چشمگیری پیوند را به خود اختصاص می‌دهند. برخی دیگر زودتر نمایان شده اما نمی‌توانند به یک هاب خیلی بزرگ تبدیل شوند. هدف این فصل مطالعه تأثیر توانایی متفاوت گره‌ها در جذب پیوندها، بر توپولوژی شبکه است. همچنین، با فراتر رفتن از این مثال‌های رقابتی ، به مطالعه تأثیر پدیده‌های رایج در شبکه‌های واقعی نظیر حذف گره و پیوند (شکل 6.1) یا پیر شدن گره‌ها بر نحوه تکامل شبکه‌ها و تغییر در توپولوژی آن‌ها می‌پردازیم. هدف ما ارائه نظریه خودسازگار از شبکه‌های تکاملی است که بتواند برای پیش‌بینی پویایی و توپولوژی طیف گسترده‌ای از شبکه‌های واقعی، مطابق با نیازمندی‌ها به کار گرفته شود.

Garment District. — شکل6.1
منطقه گارمنت

این منطقه یک محله در منهتن است که بین خیابان اصلی پنجم و نهم، از خیابان 34 تا 42 واقع شده است. از اوایل قرن بیستم این محله مرکز ساخت و طراحی مد در ایالات‌متحده بوده است. سوزن و دکمه و یک خیاط یهودی، دو مجسمه در قلب این منطقه هستند که یادآور پیشینه این محله هستند.

صنعت پوشاک شهر نیویورک نمونه بارزی از شبکه روبه‌زوال است و به ما در درک این‌که چگونه از دست رفتن گره‌ها توپولوژی شبکه را شکل می‌دهد کمک می‌کند (نکته 6.5). هدف این فصل، کشف تأثیر فرایندهایی مانند حذف گره و پیوند بر توپولوژی شبکه است.

بخش ۶.۲

مدل بیانکونی-باراباشی

برخی افراد این توانایی را دارند که هر برخورد تصادفی با افراد را به یک رابطه اجتماعی پایدار تبدیل کنند، برخی از شرکت‌ها می‌توانند هر مشتری را به یک دوست وفادار تبدیل کنند یا برخی از صفحات وب می‌توانند باعث جذب اعتیاد گونه بازدیدکنندگان خود شوند. همه این موفقیت‌ها ریشه در برخی از ویژگی‌های ذاتی گره‌ها دارد که آن‌ها را پیش می‌راند. به این ویژگی‌ها سازگاری یا تطبیق‌پذیری می‌گوییم.

سازگاری یک موهبت برای افراد است که باعث می‌شود یک برخورد تصادفی به یک دوستی پایدار تبدیل شود، این توانایی یک شرکت است که در فضای رقابتی مشتری‌های را جذب خود کند و توانایی یک وب‌سایت است که به‌رغم وجود بسیاری از صفحات دیگر که برای جلب‌توجه کاربران تلاش می‌کنند، مجدداً کاربر را به همان صفحه برگرداند. سازگاری ممکن است در افراد ریشه ژنتیکی داشته باشد، ممکن است در شرکت‌ها، مربوط به نوآوری و کیفیت مدیریت باشد و در وب‌سایت‌ها، به محتوای ارائه‌شده توسط آن‌ها بستگی داشته باشد.

منبع آنلاین ۶.۱
مدل بیانکونی-باراباشی

این فیلم ، شبکه در حال رشدی را نشان می‌دهد که در آن به هر گره جدید در بدو تولد یک پارامتر سازگاری به‌طور تصادفی اختصاص داده می‌شود که با رنگ خود گره نشان داده شده است. هر گره جدید طبق رابطه الحاق ترجیحی تعمیم‌یافته (6.1)،گره‌هایی که به آن‌ها متصل می‌شود را انتخاب می‌کند، درنتیجه نرخ رشد هر گره متناسب با سازگاری آن خواهد بود. این نکته که اندازه هر گره متناسب با درجه آن است، نشان می‌دهد با گذشت زمان گره‌هایی که بالاترین سازگاری را دارند به بزرگ‌ترین هاب ها تبدیل می‌شوند (فیلم از داشون وانگ).

در مدل باراباشی - آلبرت ، فرض کرده‌ایم که نرخ رشد یک گره تنها به درجه آن گره بستگی دارد. برای اینکه معیار سازگاری را در نظر بگیریم، فرض می‌کنیم که الحاق ترجیحی از حاصل‌ضرب سازگاری، η ، و k که همان درجه گره است، حاصل شود. مدل حاصل، که به آن مدل بیانکونی-باراباشی یا مدل سازگاری گفته می‌شود، از دو مرحله زیر تشکیل می‌شود[2, 3]:

رشد

در هر گام زمانی، یک گره جدید j با m پیوند و سازگاری η_j به شبکه اضافه می‌شود، که η_j یک عدد تصادفی است و از توزیع سازگاری ρ(η) انتخاب شده است. پس از اختصاص η_j ، سازگاری گره تغییری نخواهد کرد.
الحاق ترجیحی

احتمال اینکه یکی از اتصالات گره جدید به گره i متصل شود با حاصل‌ضرب درجه گره i (k_i) و سازگاری گره i (η_i) متناسب است:

$\Pi _i = \frac{{\eta _i k_i }}{{\sum\limits_j {\eta _j k_j } }} \hspace{20 mm} (6 . 1)$

در رابطه ۶.۱ ، وابستگی Π_i به k_i این حقیقت را بیان می‌کند که گره‌های با درجه بالاتر بیشتر دیده می‌شوند، بنابراین با احتمال بیشتری به آن‌ها پیوند می‌زنیم. وابستگی Π_i به η_i به این معنی است که بین دو گره با درجه یکسان، گره با سازگاری بیشتر با احتمال بیشتری انتخاب می‌شود. ازاین‌رو، رابطه (6.1) تضمین می‌کند که حتی یک گره نسبتاً جوان، که در ابتدا فقط چند پیوند برقرار کرده، اگر از بقیه گره‌ها سازگاری بیشتری داشته باشد، می‌تواند به‌سرعت پیوندهایی را به دست آورد.

پویایی درجه

با استفاده از تئوری پیوستار می‌توانیم تکامل هر گره را در طول زمان پیش‌بینی کنیم. طبق رابطه (6.1) درجه گره i با نرخ زیر تغییر می‌کند:

$\frac{{\partial k_i }}{{\partial t}} = m\frac{{\eta _i k_i }}{{\sum\limits_j {\eta _j k_j } }} \hspace{20 mm} (6 . 2)$

فرض می‌کنیم تکامل زمانی k_i از قانون توان با نمای وابسته به سازگاری β(η_i) پیروی کند (شکل6.2 )،

$k(t,t_i ,\eta _i ) = m\left( {\frac{t}{{t_i }}} \right)^{\beta (\eta _i )} \hspace{20 mm} (6 . 3)$

با جایگذاری رابطه (6.3) در (6.2) متوجه می‌شویم که توان پویا رعایت می‌شود (مباحث پیشرفته بخش A.6).

$\beta (\eta ) = \frac{\eta }{C} \hspace{20 mm} (6 . 4)$ $C = \int {\rho (\eta )\frac{\eta }{{1 - \beta (\eta )}}d\eta } \hspace{20 mm} (6 . 5)$

در مدل باراباشی-آلبرت داریم: β=1/2 ، ازاین‌رو درجه هر گره متناسب با جذر زمان افزایش می‌یابد. طبق رابطه (6.4)، در مدل بایکونی-باراباشی توان پویا متناسب با سازگاری گره(η) است، به همین دلیل توان پویای هر گره مخصوص همان گره است. درنتیجه، گره‌ای که سازگاری بیشتری دارد، درجه خود را سریع‌تر افزایش می‌دهد. با در نظر گرفتن زمان کافی، گره سازگارتر گره‌هایی که سازگاری کمتری دارند را پشت سر می‌گذارد (شکل6.2 ). فیس‌بوک نمونه‌ای از این پدیده است: شرکتی نوپا همراه با محصولات اعتیادآور که توانست پیوندها را سریع‌تر از رقبای خود به دست آورد و سرانجام به بزرگ‌ترین هاب وب تبدیل شد.

Competition in the Bianconi-Barabási Model. — شکل ۶.۲
رقابت در مدل باراباشی-بیانکونی

دل باراباشی-آلبرت همه گره‌ها درجه خود را با نرخ یکسان افزایش می‌دهند، بنابراین هرچه یک گره زودتر به شبکه بپیوندد، همواره درجه‌اش بزرگ‌تر است. شکل ۶.۲ درجه وابسته به زمان گره‌هایی که در زمان‌های مختلف (Ti = 1000 ، 3000 ، 5000) رسیده‌اند را نشان می‌دهد و همان‌طور که مشخص است، گره‌هایی که دیرتر وارد می‌شوند قادر به پیشی گرفتن از گره‌های اولیه نیستند[4و5].

ار لگاریتمی-لگاریتمی متناظر با نمودار (a)، نشان می‌دهد که هر گره از نرخ رشد یکسان (5.7) و توان پویای مشخص β=1/2 پیروی می‌کند.

در دل بیانکونی-باراباشی، گره‌ها درجه خود را با نرخ تعیین‌شده بر اساس سازگاری افزایش می‌دهند. به همین دلیل گره‌ای که دیرتر وارد شبکه می‌شود ولی سازگاری بالاتری دارد (علامت‌های بنفش) می‌تواند از گره‌های موجود پیشی بگیرد.

نمودار (d) همان نمودار (c) است که در قالب نمودار لگاریتمی-لگاریتمی ارائه شده است. همان‌طور که در رابطه‌های (6.3) و (6.4) پیش‌بینی شده، هر گره درجه خود را بر اساس قانون توان با توان پویای وابسته به سازگاری (β) افزایش می‌دهد.

در شکل‌های (a)-(b) هر منحنی از میانگین بیش از 100 اجرای مستقل با استفاده از یک دنباله سازگاری (برازش) یکسان به دست آمده است.

توزیع درجه

توزیع درجه در شبکه ایجادشده توسط مدل بیانکونی-باراباشی را می‌توان با استفاده از نظریه پیوستگی (مباحث پیشرفته 6.A) محاسبه کرد که رابطه زیر به دست می‌آید:

$p_k \approx C\int {d\eta \frac{{\rho (\eta )}}{\eta }\left( {\frac{m}{k}} \right)^{\frac{C}{\eta } + 1} } \hspace{20 mm} (6 . 6)$

رابطه (6.6) که مجموع وزن‌دار چندین قانون توان است و نشان می‌دهد که p_k به‌صورت دقیق توزیع سازگاری (ρ(η)) وابسته است. برای تعیین خصوصیات این مدل، از روابط 6.4 و 6.6 استفاده کرده و برای هر دو توزیع سازگاری زیر β(η) و p_k را محاسبه می‌کنیم:

سازگاری برابر

وقتی سازگاری همه گره‌ها برابر باشد، مدل بیانکونی-باراباشی به مدل باراباشی-آلبرت کاهش می‌یابد. درواقع ρ(η)=δ(η-1) در نظر گرفته می‌شود و همه گره‌ها دارای سازگاری یکسان η=۱ هستند. در این حالت، نتیجه رابطه (6.5) ، C=2 خواهد بود. با استفاده از رابطه (6.4) ، β=1/2 به دست می‌آید و طبق رابطه (6.6) پیش‌بینی می‌شود که p_k∼k^(-3) خواهد بود که همان مقیاس بندی شناخته‌شده توزیع درجه در مدل آلبرت-باراباشی است.

توزیع یکنواخت سازگاری

رفتار مدل وقتی‌که گره‌ها سازگاری مختلفی دارند، جالب‌تر است. مقدار η را از بازه [0،1] با توزیع یکنواخت انتخاب می‌کنیم. در این حالت، C یک راه‌حل غیر جبری برای معادله (6.5) است که جواب عددی آن C^* = 1.255 است. درنتیجه ، رابطه (6.4) پیش‌بینی می‌کند هر گره i توان پویای متفاوت β(η_i) = η_i /C^* دارد.

$\exp ( - 2/C) = 1 - 1/C \hspace{20 mm} (6 . 7)$

با استفاده از رابطه (6.6) رابطه زیر به دست می‌آید:

$p_k \sim \int\limits_0^1 {d\eta \frac{{C^* }}{\eta }\frac{1}{{k^{1 + C^* /\eta } }}} \sim \frac{{k^{ - (1 + C^* )} }}{{\ln k}} \hspace{20 mm} (6 . 8)$

که پیش‌بینی می‌کند توزیع درجه از قانون توان با درجه نمایی γ=2.255 پیروی می‌کند. بااین‌حال ، انتظار نداریم قانون توان کامل باشد اما مقیاس متناسب با معکوس لگاریتم درجه (جمله 1/ln⁡k ) تغییر می‌یابد.

نتایج عددی شبیه‌سازی که در شکل‌های 6.2 و 6.3 نشان داده شده است نیز یافته‌های تحلیلی فوق را تأیید می‌کند.طبق نتایج شبیه‌سازی، به ازای هرη، k_i(t) از قانون توان پیروی می‌کند و همچنین با افزایش سازگاری(η)، توان پویا β(η) افزایش می‌یابد. همان‌طور که تصویر شکل a6.3 نشان می‌دهد، توان‌های پویای اندازه‌گیری شده با پیش‌بینی رابطه (6.4) به‌خوبی مطابقت دارند. تصویر شکل 6.3b همچنین تطابق بین رابطه (6.8) و توزیع درجه عددی به‌دست‌آمده را نشان می‌دهد.

Characterizing the Bianconi-Barabási Model. — تصویر ۶.۳
توصیف مدل بیانکونی-باراباشی

الف: توان پویای اندازه‌گیری شده β(η) به‌عنوان تابعی از η برای توزیع یکنواخت ρ(η) نشان داده شده است. مربع‌های بنفش از شبیه‌سازی‌های عددی به دست آمده‌اند و خط سبزرنگ نشان‌دهنده پیش‌بینی تحلیلی، β(η)=η/1.255 است.

ب: توزیع درجه مدل به‌صورت عددی برای یک شبکه با 2 = m و 106 = N به دست آمده است و ضریب سازگاری به‌طور یکنواخت از فاصله η ∈ [0, 1] انتخاب شده است. خط سبز نشان‌دهنده پیش‌بینی ما از رابطه (6.8) است که با γ=2.255 مطابقت دارد. در صورت مساوی بودن سازگاری‌ها ، خط نقطه‌چین کشیده نشان‌دهنده *p_k* ~ k^−2.255 بدون تصحیح لگاریتمی است، درحالی‌که خط نقطه‌چین کوتاه مطابق *p_k* ~ k^-3 است. توجه داشته باشید که بهترین برازش توسط معادله (6.8) ارائه شده است.

در اشکال (a) - (b) هر منحنی با اجرای میانگین بیش از 100 حرکت مستقل با استفاده از دنباله سازگاری یکسان به دست آمده است.

جمع‌بندی

مدل Bianconi-Barabási می‌تواند این واقعیت را بیان کند که گره‌ها با خصوصیات داخلی متفاوت می‌توانند پیوندها را با نرخ‌های متفاوت از آن خود کنند. پیش‌بینی می‌شود که نرخ رشد گره با سازگاری آن η تعیین می‌شود و به ما این امکان را می‌دهد تا میزان وابستگی توزیع درجه به توزیع سازگاری ρ(η) را محاسبه کنیم.

بخش ۶.۳
محاسبه سازگاری

چنانچه بخواهیم دلیل موفقیت روزافزون یک وب‌سایت در جذب مخاطب، موردتوجه قرار گرفتن یک مقاله تحقیقاتی و درخشیدن یک هنرمند و تبدیل‌شدن به ستاره را به‌درستی دریابیم، لازم است بتوانیم مفهوم سازگاری را اندازه بگیریم (کادر 6.1). بااین‌حال امکان اشتباه در تعیین میزان سازگاری محتمل است. در نظر بگیرید بخواهیم به یک وب‌سایت مربوط به مسابقات کشتی سومو درجه سازگاری تخصیص دهیم: درحالی‌که ممکن است بخش کوچکی از مردم به کشتی سومو علاقه‌مند باشند، اما اکثر افراد نسبت به آن بی‌تفاوت هستند و برخی حتی ممکن است آن را عجیب و غیرعادی بدانند. ازاین‌رو افراد مختلف، ناخودآگاه سازگاری‌های مختلفی را به یک گره نسبت می‌دهند.

نکته 6.1
خاستگاه ژنتیکی سازگاری:

آیا سازگاری، که توانایی برقراری ارتباط در شبکه¬های اجتماعی است، می تواند ریشه ژنتیکی داشته باشد؟ برای پاسخ به این سوال، محققان با استفاده از تکنیک¬های شناسایی وراثت¬پذیری صفات و رفتارها، شبکه اجتماعی متشکل از 1110 دوقلوی محصل را بررسی کردند. آنها دریافتند که:

عوامل ژنتیکی عامل 46٪ از تفاوت ها در درجه ورودی رابطه دوستی (یعنی تعداد دانش آموزانی که یک دانش آموز خاص را دوست خود می دانند) است.
عوامل ژنیکی تاثیری بر درجه خروجی رابطه دوستی (یعنی تعداد دانش آموزانی که یک دانش آموز خاص به عنوان دوست خود می شناسد) ندارد.

این نشان می دهد که توانایی فرد برای دستیابی به پیوندها یا سازگاری وی ارثی است. به عبارت دیگر سازگاری در شبکه های اجتماعی منشأ ژنتیکی دارد. تحقیق دیگری در خصوص رابطه ویژگی ژنتیکی خاص با تفاوت در محبوبیت افراد نیز همین نتیجه را تایید می کند [8].

رابطه (6.1) نشان می‌دهد که سازگاری توسط یک فرد به‌خصوص تعیین نمی‌شود، بلکه ناشی از درک جمعی شبکه از اهمیت یک گره نسبت به گره‌های دیگر است. بنابراین، می‌توانیم با مقایسه تکامل زمانی یک گره با تکامل زمانی سایر گره‌های شبکه، سازگاری آن را تعیین کنیم. در این بخش، نشان می‌دهیم که اگر اطلاعاتی در خصوص تغییرات تکامل گره‌ها داشته باشیم، ویژگی‌های کمی مدل Bianconi-Barabási به ما امکان می‌دهد تا سازگاری هر گره را تعیین کنیم.

برای مرتبط کردن نرخ رشد یک گره با سازگاری آن، از معادله (6.3) لگاریتم می‌گیریم،

$\ln k(t,t_i ,\eta _i ) = \beta (\eta _i )\ln t + B_i \hspace{20 mm} (6 . 9)$

که در آن B_i = ln (m/t_i ^β(η_i)) یک پارامتر مستقل از زمان است. ازاین‌رو ، شیب ln k(t,t_i,η_i) یک تابع خطی از توان پویای β(η_i) است. همچنین β(η_i) مطابق با معادله (6.4) به‌طور خطی به η_i بستگی دارد. بنابراین ، اگر بتوانیم تکامل زمانی درجه را برای تعداد زیادی گره دنبال کنیم، توزیع توان پویای β(η_i) با توزیع سازگاری ρ(η) یکسان خواهد بود.

سازگاری یک سند وب:

برای اندازه‌گیری سازگاری گره‌های وب، اطلاعات 22 میلیون صفحه وب در مدت 13 ماه رصد شده است [9]. درجه اکثر گره‌ها (صفحات وب) در این مدت تغییری نداشته است. در عوض تغییرات 6.5٪ از گره‌ها به‌اندازه‌ای بود که بتوان با استفاده از معادله (6.9) توان پویای آن‌ها را تعیین کرد. توزیع سازگاری به دست آمده ρ(η) شکل نمایی (تصویر 6.4) دارد و نشان می‌دهد گره‌های بسیار کم و نادری سازگاری بالا دارند.

The Fitness Distribution of the WWW. — شکل ۶.۴

توزیع سازگاری، با اندازه‌گیری تکامل زمانی تعداد زیادی از صفحات وب به دست آمده است. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد همان‌طور که از رابطه (6.3) انتظار داشتیم، درجه هر گره از قانون توان وابسته به زمان پیروی می‌کند. شیب هر منحنی β(η_j) است که معادل با سازگاری گره η_i در رابطه (6.4) است که با نرخ ضریب ثابت افزایش میابد. این شکل نتیجه دو اندازه‌گیری بر اساس مجموعه داده‌های ثبت‌شده در فاصله سه ماه از هم است که نشان می‌دهد توزیع سازگاری مستقل از زمان است. خط نقطه‌چین نشان می‌دهد که توزیع سازگاری به‌خوبی با تابع نمایی برازش شده است[9].

برای درک بهتر این موضوع، دو گره که هم‌زمان واردشده‌اند و سازگاری آن‌ها متفاوت استη₂ > η₁ را در نظر بگیرید: با توجه به روابط (6.3) و (6.4)، اختلاف نسبی درجه آن‌ها برای t بزرگ به به‌صورت زیر رشد می‌کند:
$\frac{{k_2 - k_1 }}{{k_1 }} \sim t^{\frac{{n_2 - n_1 }}{C}} \hspace{20 mm} (6 . 10)$
درحالی‌که ممکن است تفاوت بین η₂ و η₁ کم باشد اما اختلاف نسبی بین درجه‌های آن‌ها در آینده (t بزرگ) می‌تواند چشمگیر باشد.

سازگاری در مقالات علمی

در بعضی از شبکه‌ها، پویایی و تکامل گره‌ها پیچیده‌تر از چیزی است که در رابطه (6.3) مطرح شده است. برای سنجش سازگاری آن‌ها ابتدا باید الگوی دقیق رشد آن‌ها را موردمطالعه قرار داد. برای نشان دادن این فرایند، سازگاری گره‌ها در شبکه مقالات پژوهشی و نقش آن در تخمین میزان اثرگذاری مقالات در آینده را تحلیل خواهیم کرد.

درحالی‌که به بیشتر مقالات پژوهشی تعداد کمی ارجاع می‌شود، اما تعداد کمی از مقالات وجود دارند که هزاران و حتی ده‌ها هزار بار به آن‌ها ارجاع می‌شود [10]. تعداد ارجاعات یک مقاله، به‌عنوان اثرگذاری آن مقاله به شمار می‌آید. این اختلاف اثرگذاری مقالات به میزان نوآوری و مرتبط بودن موضوع برمی‌گردد. به‌طورکلی، احتمال اینکه مقاله تحقیقاتی i در زمان t بعد از انتشار مورد استناد قرار گیرد برابر است با [11] :
$\Pi _i \sim \eta _i c_i^t P_i (t) \hspace{20 mm} (6 . 11)$
که در آن سازگاری یک مقاله (*η_i*) به ایده خلاقانه و اهمیت دستاورد ارائه شده در آن مربوط است. جمله c_i^t تعداد تجمعی ارجاعات به مقاله i در زمان t پس از انتشار آن را نشان می‌دهد. فلسفه این ضریب این است که در آینده احتمال ارجاع به مقالات پر ارجاع بیشتر از مقالاتی است که تاکنون کمتر موردتوجه قرارگرفته‌اند (اصل الحاق ترجیحی). آخرین عبارت در رابطه (6.11) نشان‌دهنده این است که تازگی هر مقاله با گذر زمان کمرنگ می‌شود، لذا چنانچه ایده‌های جدید در کارهای بعدی نیز منعکس گردد، میزان تأثیرگذاری مقاله را افزایش می‌دهد [12،11 [. مطالعات نشان می‌دهد که این محو شدن تدریجی مقالات (جمله سوم) شکل نرمال-لگاریتمی دارد.
$P_i (t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi t\sigma _i } }}e^{ - \frac{{(\ln t - \mu _i )^2 }}{{2\sigma _i^2 }}} \hspace{20 mm} (6 . 12)$
با حل معادله اصلی رابطه (6.11)، رابطه زیر برای رشد وابسته به زمان ارجاع به مقالات به دست می‌آید:
$C_i^t = m\left( {e^{\frac{{\beta \eta _i }}{A}\Phi \left( {\frac{{\ln t - \mu _i }}{{\sigma _i }}} \right)} - 1} \right) \hspace{20 mm} (6 . 13)$
که در آن
$\Phi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^x {e^{ - y^2 /2} dy} \hspace{20 mm} (6 . 14)$
توزیع نرمال تجمعی و m ، β و A پارامترهای سراسری هستند.

رابطه (6.13) پیش‌بینی می‌کند که تاریخچه ارجاع به مقاله i با سه پارامتر مشخص می‌شود: پارامتر تازگی *μ_i* ، زمان رسیدن یک مقاله به بالاترین میزان ارجاع، و ماندگاری *σ_i* که نرخ افت ارجاعات به یک مقاله را نشان می‌دهد. مهم‌ترین شاخص، سازگاری نسبی *η_i*′ ≡ *η_iβ*/A است که اهمیت یک مقاله نسبت به سایر مقالات را اندازه‌گیری و تأثیر نهایی آن را تعیین می‌کند (نکته 6.2).

در شکل 6.5 رابطه 6.13 با توزیع سازگاری تک‌تک مقالات یک مجله بر اساس تاریخچه ارجاعات به آن‌ها برازش شده است. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد توزیع سازگاری برترین مجله زیست‌شناسی سلولی به نام سل ، به سمت راست منتقل شده است که بیانگر درجه سازگاری بالای مقالات آن مجله است. جای تعجب نیست که این مجله یکی از بالاترین ضریب تأثیرها را در بین همه مجلات دارد. در مقایسه، سازگاری مقالات منتشر شده در مجله فیزیکال ریویو به سمت چپ منتقل‌شده که نشان می‌دهد این مجله تعداد کمی مقاله با سازگاری بالا منتشر کرده است.

به‌طور خلاصه ، چارچوب ارائه‌شده توسط مدل بیانکونی-باراباشی به ما اجازه می‌دهد تا سازگاری هر گره و شکل توزیع سازگاری ρ(η) را تعیین کنیم. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که معمولاً توزیع سازگاری برای η بزرگ به‌صورت نمایی محدود است، به عبارتی اختلاف سازگاری بین گره‌های مختلف اندک است. با گذشت زمان، این اختلافات بزرگ‌تر می‌شود و باعث ایجاد توزیع درجه قانون توان در اتصالات ورودی در وب یا ارجاعات زیاد در شبکه مقالات علمی می‌شود.

شکل 6.5
توزیع سازگاری مقالات تحقیقاتی
توزیع سازگاری مقالات منتشرشده در شش مجله در سال 1990 را نشان می‌دهد. سازگاری هر مقاله با برازش رابطه (6.13) با تاریخچه ارجاعات به مقاله در بازه زمانی طولانی 10 ساله به دست آمده است. دو مجله از فیزیک (فیزیکال ریویو بی و فیزیکال ریویو لترز ) ، یکی از زیست‌شناسی (سل) و سه مجله بین‌رشته‌ای (نیچر ، ساینس و پی ان ای اس ) هستند.

توزیع سازگاری‌های به دست آمده باهم فاصله دارند که نشان می‌دهد مجله سل مقالات با بالاترین سازگاری را منتشر می‌کند، و پس‌ازآن به ترتیب مجله‌های نیچر، ساینس، پی ان ای اس، فیزیکال ریویو لترز و فیزیکال ریویو بی قرار دارند [11].

نکته6.1
The Genetic Origins of Fitness

شکل ۶.۶
پیش‌بینی تأثیرگذاری نهایی مقالات
تاریخچه ارجاعات سالانه به دو مقاله را نشان می‌دهد. یک مقاله‌ای به نخستین پیش‌نویس ژنوم انسان (ونتر و همکاران [13]) و مقاله دیگر به کشف شبکه‌های بی مقیاس (باراباشی و آلبرت [14]) مربوط می‌شود. تأثیر اولیه این دو مقاله تفاوت زیادی باهم داشت. بر اساس گزارش WOS دو سال پس از انتشار، مقاله ژنوم انسان توانست بیش از 1400 ارجاع کسب کند درحالی‌که مقاله شبکه‌های بی مقیاس تنها 120 ارجاع به دست آورد. پویایی ارجاع طولانی‌مدت آن‌ها نیز به طرز چشمگیری متفاوت بود: تعداد ارجاعات به مقاله ژنوم انسان پس از سال دوم به نقطه اوج خود رسید، الگویی که در بیش از 85٪ از کل مقالات پژوهشی به چشم می‌خورد. در مقابل، ارجاعات سالانه به مقاله شبکه‌های بی مقیاس به مدت حدود یک دهه در حال افزایش بود.

با کمک منحنی‌های پیوسته به دست آمده از برازش رابطه (6.13) با تاریخچه ارجاعات مربوطه، می‌توانیم ارجاعات آینده به مقالات و تأثیر نهایی آن‌ها را تعیین کنیم. تأثیر نهایی متناظر با مساحت زیر منحنی برای t→∞ است. طبق رابطه (6.15) تأثیر نهایی مقاله ژنوم انسان 13105 خواهد بود درحالی‌که تأثیر نهایی مقاله شبکه‌های بی مقیاس 26183 است. بنابراین، تعداد ارجاعات اولیه به یک مقاله شاخص قوی و مناسبی برای مشخص کردن تأثیر نهایی آن نیست.

تعداد ارجاعات تنها تأثیر سابقه یک مقاله تحقیقاتی را ارائه می‌دهد و هیچ اطلاعاتی درباره اینکه آیا مقاله به نقطه اوج تأثیر خود رسیده یا همچنان رو به رشد خواهد بود، نمی‌دهد. برای ارزیابی تأثیر واقعی یک مقاله، باید تعداد ارجاعات به مقاله در طول عمرش را تعیین کنیم. تأثیر نهایی را می‌توان به کمک روابط (6.11) و (6.14) برآورد کرد. درواقع، با در نظر گرفتن حالت حدی t→∞ برای (6.13) رابطه زیر به دست می‌آید: [11]
$C_i^\infty = m\left( {e^{\eta _i } - 1} \right) \hspace{20 mm} (6 . 15)$
درنتیجه، علی‌رغم عوامل مؤثر بی‌شماری که در تاریخچه ارجاعات به مقاله اثرگذار هستند، تأثیر نهایی آن تنها با درجه سازگاری *η_i* تعیین می‌شود. همان‌طور که می‌توان سازگاری را با برازش رابطه (6.13) با سابقه ارجاعات قبلی به یک مقاله تعیین کرد، می‌توان از رابطه (6.15) برای پیش‌بینی تأثیر نهایی یک مقاله استفاده کرد ( 6.6شکل).

چگالش بوز-انیشتین

در بخش قبل دیدیم که توزیع سازگاری شبکه وب به شکل نمایی (شکل 6-4) و شبکه ارجاع مقالات دارای توزیع با نقطه اوج بود (شکل 6-5). تنوع توزیع سازگاری مشاهده‌شده در شبکه‌های مختلف یک سؤال مهم را مطرح می‌کند که چگونه توپولوژی شبکه به شکل ρ(η) بستگی دارد؟

از منظر فنی، رابطه (6.6) که *p_k* را به ρ(η) مرتبط می‌کند، به این پرسش پاسخ می‌دهد. بااین‌وجود، تأثیر واقعی توزیع سازگاری زمانی، تنها وقتی کشف شد که مشخص شد برخی از شبکه‌ها می‌توانند تحت چگالش بوز و انیشتین قرار گیرند. در این بخش درباره نگاشتی که منجر به این کشف شد و پیامدهای این کشف در توپولوژی شبکه، بحث می‌کنیم [15].

ابتدا سعی می‌کنیم بین‌بین مدل بیانکونی-باراباشی و مدل گاز بوز که خواص آن در فیزیک به‌طور گسترده موردمطالعه قرار گرفته است، تناظر برقرار کنیم (شکل 6-7):

**سازگاری ← انرژی**
به هر گره با سازگاری *η_i* انرژی *ε_i* را اختصاص می‌دهیم:
$\varepsilon _i = \frac{1}{{\beta _T }}\log \eta _i \hspace{20 mm} (6 . 16)$
در سیستم‌های فیزیکی، *β_T* نقش دمای معکوس را بازی می‌کند. از زیرنویس T برای تمایز بین *β_T* از نمای پویای β استفاده می‌کنیم. طبق رابطه (6.16) ، هر گره در شبکه با یک سطح انرژی گاز بوز متناظراست. هرچه سازگاری یک گره بیشتر باشد، انرژی آن کمتر است.

**پیوندها ← ذرات**
برای هر پیوند از گره i به گره j، ذره‌ای را به سطح انرژی *ε_j* اضافه می‌کنیم.

**گره‌ها ← سطح انرژی**
ورود گره جدید با m اتصال معادل اضافه کردن سطح انرژی جدید *ε_j* و m ذره جدید به گاز بوز است که در سطح انرژی گره‌های متصل به گره جدید قرار می‌گیرد.

شکل ۶.۷
نگاشت شبکه‌ها به مدل گاز بوز
**شبکه**

شبکه‌ای متشکل از شش گره را نشان می‌دهد که در آن هر گره با سازگاری منحصربه‌فرد *η_i* مشخص شده است. این سازگاری با رنگ گره نشان داده شده است. مقادیر سازگاری از توزیع سازگاری ρ انتخاب شده است.

**گاز بوز**

به هر سازگاری η یک سطح انرژی ε نگاشت می‌شود، درنتیجه یک گاز بوز با سطوح انرژی تصادفی پدید می‌آید. پیوندی که از یک گره جدید i به گره j می‌رود، متناظر یک ذره در سطح انرژی *ε_j* است.

**رشد**

شبکه با اضافه کردن یک گره جدید مانند گره نارنجی با سازگاری η₆ رشد می‌کند. برای m=1 گره جدید با خط‌چین به گره خاکستری ( بر اساس رابطه 6.1) متصل می‌شود. رشد، با اضافه شدن سطح انرژی جدید η₆ به گاز بوز (خط‌چین) و حضور یک ذره در ε₁ که سطح انرژی گره یک است، و به گره η₆ متصل می‌شود، متناظر است.

اگر نتایج ریاضی این نگاشت را دنبال کنیم، درمی‌یابیم که در گاز حاصل، تعداد ذرات در هر سطح انرژی از آمار بوز پیروی می‌کند، فرمولی که توسط ساتیندراناث بوز در سال 1924 به دست آمده است (نکته 6.3). درنتیجه، پیوندهای موجود در مدل سازگاری، مانند ذرات زیر اتمی در یک گاز کوانتومی رفتار می‌کنند.

نکته ۶.۳
از سازگاری تا گاز بوز

در مفهوم گاز بوز (شکل 6-7) احتمال اینکه ذره‌ای در سطح i قرار بگیرد، برابر است با:
$\Pi _i = \frac{{e^{ - \beta _T \varepsilon _i } k_i }}{{\sum\limits_j {e^{ - \beta _T \varepsilon _j } k_j } }} \hspace{20 mm} (6 . 17)$
ازاین‌رو، نرخی که سطح انرژی *ε_i* ذرات را جمع می‌کند برابر است با: [15]
$\frac{{\partial k_i (\varepsilon _i ,t,t_i )}}{{\partial t}} = m\frac{{e^{ - \beta _T \varepsilon _i } k_i (\varepsilon _i ,t,t_i )}}{{Z_t }} \hspace{20 mm} (6 . 18)$
که *k_i*(*ε_i*, t, *t_i*) عدد اشغال(occupation number) سطح انرژی i را نشان می‌دهد و
$Z_t = \sum\limits_{j = 1}^t t e^{ - \beta _T \varepsilon _j } k_j (\varepsilon _j ,t,t_j )$
تابع افراز است. راه‌حل رابطه (6.18) برابر است با:
$k_i (\varepsilon _i ,t,t_i ) = m\left( {\frac{t}{{t_i }}} \right)^{f(\varepsilon _i )} \hspace{20 mm} (6 . 19)$
که در آن*f(ε)* = *e^{−β_T (ε−μ)}* و μ پتانسیل شیمیایی است که تساوی زیر را برقرار می‌کند:
$\int {\deg (\varepsilon )\frac{1}{{e^{\beta _T (\varepsilon - \mu )} - 1}} = 1} \hspace{20 mm} (6 . 20)$
در اینجا deg(ε) انحطاط سطح انرژی ε را نشان می‌دهد. رابطه (6.20) بیان می‌کند در حالت حدی t→∞ ضریب اشغال که تعداد ذرات با انرژی ε را نشان می‌دهد، از آمار بوز پیروی می‌کند.
$n(\varepsilon ) = \frac{1}{{e^{\beta _T (\varepsilon - \mu )} - 1}} \hspace{20 mm} (6 . 21)$
نگاشت مدل سازگاری به مدل گاز بوز ثابت می‌کند درجه گره در مدل بیانکونی باراباشی از آمار بوز پیروی می‌کند.

نگاشت به مدل گاز بوز دقیق است و وجود دو فاز مجزا را پیش‌بینی می‌کند [15، 16]:

فاز بی مقیاس

در اکثر توزیع‌های سازگاری، رفتار شبکه مؤید این موضوع است که هر چه یک گره سازگاری بیشتری داشته باشد، بیشتر رشد می‌کند، یعنی درجه نهایی هر گره بر اساس سازگاری آن تعیین می‌شود. مناسب‌ترین گره در نهایت به بزرگ‌ترین هاب تبدیل می‌شود، در این فاز توزیع درجه در هرلحظه از قانون توان پیروی می‌کند که نشان می‌دهد شبکه تولیدشده دارای توپولوژی بی مقیاس است. درنتیجه ، بزرگ‌ترین هاب از رابطه (4.18) پیروی می‌کند یعنی فقط به‌صورت زیرخطی رشد می‌کند. تعدادی هاب نسبتاً کوچک‌تر، در رتبه‌های بعدی قرار دارند. همچنین این هاب ها تقریباً به اندازه سازگارترین گره دارای لینک هستند (شکل 6.9a). مدل با توزیع سازگاری یکنواخت که در بخش 6.2 بحث شد، در این فاز بی مقیاس قرار دارد.

چگالش بوز-انیشتین

نتیجه غیرمنتظره نگاشت به گاز بوز، احتمال چگالش بوز-انیشتین برای برخی توزیع‌های سازگاری است. در چگالش بوز-انیشتین، تمام ذرات در پایین‌ترین سطح انرژی تجمع می‌کنند و بقیه سطوح انرژی را خالی می‌گذارند (نکته 6.4).

در یک شبکه، چگالش بوز-انیشتین به این معنی است که سازگارترین گره بخش قابل‌توجهی از پیوندها را به دست می‌آورد و به یک ابر-هاب تبدیل می‌شود (شکل 6.9b). شبکه حاصل دیگر بی مقیاس نیست و از توپولوژی منظومه شمسی یا قطب و اقمار (یک گره بزرگ مانند خورشید در میان قرار می‌گیرد و تعداد زیادی گره به آن وصل می‌شوند) پیروی می‌کند. در این فاز، روند "پولدارها پول¬دارتر می‌شوند"، شکل افراطی می‌گیرد و به پدیده "برنده همه را می‌برد" تبدیل می‌شود. درنتیجه، شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد.

در سیستم‌های فیزیکی چگالش بوز- انیشتین به کاهش دمای گاز بوز پایین‌تر از برخی دماهای بحرانی گفته می‌شود(نکته 6.4). در شبکه‌ها، دمای *β_T* در معادله (6.16) یک متغیر ساختگی است، که از همه کمیت‌های توپولوژیکی، مانند توزیع درجه *p_k* حذف می‌شود. ازاین‌رو، وجود یا عدم وجود چگالش بوز-انیشتین فقط به شکل توزیع سازگاری ρ(η) بستگی دارد. برای اینکه یک شبکه بتواند تحت چگالش بوز-انیشتین قرار بگیرد، توزیع سازگاری باید شرط زیر را برآورده کند:
$\int\limits_{\eta _{\min } }^{\eta _{\max } } {\frac{{\eta \rho (\eta )}}{{1 - \eta }}d\eta < 1}$
توزیع سازگاری‌ای که منجر به چگالش بوز-انیشتین می‌شود:
$\rho (\eta ) = (1 - \zeta )(1 - \eta )^\zeta \hspace{20 mm} (6 . 22)$
با تغییرζ ، می‌توانیم چگالش بوز-انیشتین را القا کنیم (شکل 6.9). درواقع، این‌که رابطه (6.20) راه‌حل داشته باشد به فرم عملکردی توزیع انرژی g(ε) که با توجه به شکل ρ(η) تعیین می‌شود بستگی دارد. مخصوصاً اگر معادله (6.22) به ازای g(ε) داده شده پاسخ غیر منفی نداشته باشد، چگالش بوز-انیشتین ظاهر می‌شود، و کسر محدودی از ذرات در پایین‌ترین سطح انرژی جمع می‌شوند.

نکته ۶.۴
چگالش بوز-انیشتین

در فیزیک کلاسیک، انرژی جنبشی یک ذره در حال حرکت، E= mv²/2 ، می‌تواند هر مقداری بین صفر (حالت سکون) و یک عدد بزرگ دلخواه (حرکت بسیار سریع) داشته باشد. علاوه بر این، هر تعداد ذرات دلخواه می‌توانند انرژی یکسان داشته باشند، به شرطی که دارای سرعت برابر باشند. در مکانیک کوانتومی انرژی به‌صورت کمی است، به این معنی که فقط می‌تواند مقادیر گسسته (کمی) بگیرد. علاوه بر این، در مکانیک کوانتومی با دو کلاس مختلف از ذرات روبرو می‌شویم. ذرات فرمی ، مانند الکترون‌ها که نمی‌توانند انرژی یکسان در یک سیستم داشته باشند. بنابراین تنها یک الکترون می‌تواند سطح انرژی معینی را اشغال کند (شکل 6.8b). در مقابل، ذرات بوز، مانند فوتون‌ها می‌توانند در یک سطح انرژی، هر تعداد دلخواهی داشته باشند(شکل 6.8b).

در دماهای بالا، هنگامی‌که محرک حرارتی ذرات را مجبور به دریافت انرژی‌های مختلف می‌کند، تفاوت بین ذرات فرمی و گاز بوز ناچیز است (شکل 6.8a,b). در دماهای پایین که تمام ذرات مجبور هستند در پایین‌ترین سطح انرژی مجاز خود قرار گیرند ، این تفاوت قابل‌توجه است. در گاز فرمی در دماهای پایین، ذرات سطوح انرژی را از پایین به بالا پر می‌کنند، درست مانند ریختن آب در گلدان که آن را از پایین پر می‌کند (شکل 6.8c). بااین‌حال، ازآنجاکه هر تعداد ذرات بوز می‌توانند انرژی یکسانی داشته باشند، همه آن‌ها می‌توانند در کمترین سطح انرژی جمع شوند (شکل 6.8d). به‌عبارت‌دیگر، مهم نیست که چه مقدار "مایع بوز" را درون یک ظرف می‌ریزیم، همه‌ی مایع در انتهای ظرف باقی می‌ماند و هرگز ظرف را پر نمی‌کند. این پدیده چگالش بوز-انیشتین نامیده می‌شود و برای اولین بار در سال 1924 توسط انیشتین پیشنهاد شد. شواهد تجربی برای چگالش بوز-انشتین سال‌ها بعد در 1995 ارائه شد و منجر به دریافت جایزه نوبل 2001 در فیزیک شد.

شکل 6.8
آمار بوز و فرمی

در گاز فرمی (a ، c) فقط یک ذره مجاز است در هر سطح انرژی قرار گیرد، درحالی‌که در گاز بوز (b، d) چنین محدودیتی وجود ندارد. در دماهای بالا ، تشخیص تمایز بین این دو گاز دشوار است. اما در دمای پایین، هر ذره می‌خواهد کمترین سطح انرژی ممکن را اشغال کند و تفاوت بین این دو گاز قابل‌توجه می‌شود.

به‌طور خلاصه ، شکل دقیق توزیع سازگاری، توپولوژی یک شبکه در حال رشد را تعیین می‌کند. درحالی‌که توزیع سازگاری مانند توزیع یکنواخت، توپولوژی بی مقیاس ایجاد می‌کند، برخی مقادیر ρ(η) چگالش بوز-انیشتین را امکان‌پذیر می‌کند. اگر یک شبکه تحت چگالش بوز-انیشتین قرار گیرد، یک یا تعداد کمی از گره‌ها اکثر پیوندها را به خود اختصاص می‌دهند. ازاین‌رو، فرایندی که در شبکه‌های بی مقیاس به پدیده "ثروتمند ثروتمندتر می‌شود" معروف است تشدید می‌شود و به پدیده "همه‌چیز به برنده تعلق می‌گیرد"، تبدیل می‌شود. چگالش بوز-انیشتین چنان تأثیر آشکاری بر ساختار شبکه دارد که در صورت وجود، آثار آن کاملاً هویدا می‌شود، به عبارتی سلسله‌مراتب هاب ها که نشانه شبکه‌های بی مقیاس است از بین می‌رود و جای خود را به توپولوژی منظومه شمسی (قطب و اقمار) می‌دهد و مدلی شبیه ستاره ایجاد می‌کند (شکل 6.9 ).

منبع آنلاین ۶.۲
چگالش بوز و انیشتین در شبکه‌ها

این فیلم تکامل زمانی یک شبکه در حال رشد را نشان می‌دهد که در آن یک گره (بنفش‌رنگ) سازگاری بالاتری نسبت به بقیه گره‌ها دارد. این گره اکثر پیوندها را به خود جذب می‌کند و چگالش بوز-انیشتین را به شبکه اعمال می‌کند. این فیلم از داشون وانگ است.

شکل ۶.۹
چگالش بوز و انیشتین در شبکه‌ها
**(a,b)** هر دو شبکه توسط مدل بیانکونی-باراباشی با ρ(η) و با استفاده از رابطه (6.22) اما با توان‌های متفاوت ζ به دست آمده‌اند. توجه داشته باشید که در فاز چگالش (b) دو هاب بزرگ با اندازه‌های قابل قیاس داریم.

(**(c,d)**سطوح انرژی (خطوط سبز) و ذرات ته‌نشین شده (نقاط بنفش) برای شبکه‌ای با m=2 و N=1000 را نشان می‌دهد. هر سطح انرژی معادل سازگاری یک گره از شبکه نشان داده شده در (a ، b) است. هر پیوند یک گره با ذره‌ای در سطح انرژی مربوطه نشان داده می‌شود. ازآنجایی‌که اجازه پیوند چندگانه نداریم، دو سطح انرژی بسیار پرجمعیت در (d) ظهور کرده‌اند،که نشان می‌دهد دو چگالش رخ داده که متناظر با دو هاب دیده‌شده در (b) است.

**(e,f)**توزیع سازگاری ρ(η) که از رابطه (6.22) به‌دست‌آمده، تفاوت در شکل عملکردهای ρ(η) را نشان می‌دهد. تفاوت‌ها با پارامتر ζ نشان داده شده است، که در (e) ζ=0.1 و در (f) ζ=10 است.

شبکه‌های تکاملی

مدل باراباشی-آلبرت یک مدل مینیمال است ، که برای نشان دادن سازوکارهای ایجاد ویژگی بی مقیاسی شبکه‌ها طراحی‌شده است. درنتیجه، محدودیت‌های آشکاری نیز دارد (به بخش 5.10 هم مراجعه کنید):

γ = 3 را پیش‌بینی می‌کند، درحالی‌که نماهای درجه مشاهده‌شده به‌طور تجربی بین 2 تا 5 متغیر هستند (جدول 4.1).

مدل توزیع درجه قانون توان را پیش‌بینی می‌کند، درحالی‌که در سیستم‌های واقعی شاهد انحراف سیستم از تابع قانون توان خالص، مانند اشباع درجه-کوچک یا برش در درجات-بالا هستیم (نکته 4.8).

مدل برخی از فرایندهای ابتدایی که در بسیاری از شبکه‌های واقعی بدیهی است، مانند اضافه شدن پیوندهای داخلی و گره‌ها یا حذف پیوند را نادیده می‌گیرد.

این محدودیت‌ها الهام‌بخش پژوهش بسیار مهمی بوده است که نقش این فرآیندها را بر توپولوژی شبکه آشکار ساخته است. در این بخش مدل باراباشی-آلبرت را به‌صورت سیستماتیک گسترش می‌دهیم، و به خانواده‌ای از مدل‌های شبکه¬های در حال تکامل می‌رسیم که می‌توانند طیف گسترده‌ای از پدیده‌های شناخته‌شده مؤثر در شکل‌گیری توپولوژی شبکه‌های واقعی را توجیه کنند.

جذب اولیه

در مدل باراباشی - آلبرت ، یک گره تک افتاده نمی‌تواند پیوندی به دست آورد، زیرا با توجه به اتصال ترجیحی (4.1) احتمال اینکه گره جدید به گره k=0 وصل شود، اکیداً صفر است. در شبکه‌های واقعی حتی گره‌های تنها هم می‌توانند پیوند برقرار کنند. درواقع، با احتمال محدودی ممکن است به هر مقاله پژوهشی جدید برای اولین بار ارجاع شود. شخصی که به شهر جدیدی نقل‌مکان می‌کند به‌سرعت آشنایان زیادی به دست می‌آورد. برای اینکه گره‌های تک افتاده بتوانند پیوندهایی به دست آورند یک ثابت عددی را به تابع اتصال ترجیحی اضافه می‌کنیم (4.1) ،

$\Pi _k \sim A + k \hspace{20 mm} (6 . 23)$
در اینجا به ثابت A میزان جذب اولیه گفته می‌شود. ازآنجاکه Π(0)∼A ، جذب اولیه با احتمال اینکه گره‌ای در گام زمانی بعدی اولین پیوندش را به دست آورد، متناسب است.

شکل ۶.۱۰
جذب اولیه

تابع اتصال ترجیحی تجمعی (5.21) مربوط به شبکه ارجاعات به مقاله که الگوهای ارجاع مقاله‌های منتشرشده از سال 2007 تا 2008 را نشان می‌دهد. منحنی Π_k با استفاده از روش توصیف‌شده در بخش 5.6 اندازه‌گیری شده است. خط پیوسته به جذب اولیه A∼7.0 اشاره دارد، درحالی‌که خط‌چین معادل A=0 (گره‌های بدون جذب اولیه) است. A=7 دلالت بر این دارد که احتمال ارجاع به یک مقاله جدید برای اولین بار به احتمال استناد به مقاله‌ای که هفت ارجاع به آن وجود دارد نزدیک است. [19].

اندازه‌گیری مستقیم *Π_k* نشان می‌دهد که جذب اولیه در شبکه‌های واقعی وجود دارد (شکل 6.10) که دو نتیجه به همراه دارد:

**توان درجه را افزایش می‌دهد**
اگر در مدل باراباشی - آلبرت رابطه (4.1) را با (6.23) جایگزین کنیم، توان درجه مطابق با معادله زیر خواهد شد[17 ، 18] $\gamma = 3 + \frac{A}{m} \hspace{20 mm} (6 . 24)$
درنتیجه ، جذب اولیه γ را افزایش می‌دهد، شبکه را یکدست‌تر می‌کند و اندازه هاب ها را کاهش می‌دهد. درواقع ، جذب اولیه یک مؤلفه تصادفی را به‌احتمال اتصال به یک گره می‌افزاید. این مؤلفه تصادفی به گره‌های با درجه خیلی کوچک تمایل دارد و نقش پیوست ترجیحی را تضعیف می‌کند. برای گره‌های با درجه بالا، وزن عبارت جذب اولیه A در رابطه (6.23) ناچیز است.

**اشباع درجه‌های کوچک**

راه‌حل معادله پیوستار نشان می‌دهد که توزیع درجه شبکه تحت کنترل رابطه (6.23) از قانون توان خالص پیروی نمی‌کند و به شکل زیر است:
$p_k = C(k + A)^{ - \gamma } \hspace{20 mm} (6 . 25)$
بنابراین ، جذب اولیه برای k<A ، اشباع درجه‌های کوچک را القا می‌کند و نقش *k_sat* در رابطه (4.39) را بازی می‌کند. ریشه این اشباع در این است که جذب اولیه احتمال پیوند گره‌های جدید به گره‌های با درجه کوچک را افزایش می‌دهد و از رشد گره‌های کوچک حمایت می‌کند. برای درجه‌های بالاتر (k≫A) توزیع درجه از قانون توان پیروی می‌کند ، زیرا در این محدوده، جذب اولیه احتمال پیوند را تغییر نمی‌دهد.

پیوندهای داخلی

در بسیاری از شبکه‌ها، پیوندهای جدید نه‌تنها با گره‌های جدید شکل می‌گیرند بلکه بین گره‌های موجود نیز اضافه می‌شوند. به پیوند بین گره‌های موجود، پیوند داخلی می‌گوییم. به‌عنوان‌مثال، اکثریت قریب به‌اتفاق پیوندهای جدید در شبکه وب پیوندهای داخلی هستند که مربوط به اضافه شدن پیوندهای تازه بین اسناد وب موجود است. به‌طور مشابه، تقریباً تمام پیوندهای اجتماعی یا دوستی‌های جدید بین افرادی شکل می‌گیرد که از قبل دوستان و آشنایان دیگری داشتند.

اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که در شبکه‌هایی که باهم تعامل دارند، پیوندهای داخلی از الحاق ترجیحی مضاعف پیروی می‌کنند، یعنی احتمال اینکه پیوند داخلی جدیدی بین گره‌هایی با درجه k و k^' ایجاد شود برابر است با [20]

$\Pi (k,k') \sim (A + Bk)(A + Bk)' \hspace{20 mm} (6 . 26)$
برای درک بهتر تأثیر پیوندهای داخلی، چند نمونه از رابطه (6.26) را بررسی می‌کنیم:

**الحاق ترجیحی مضاعف (A=0)**

تعمیمی از مدل باراباشی-آلبرت را در نظر بگیرید که در هر مرحله زمانی یک گره جدید با m پیوند جدید و nپیوند داخلی به شبکه اضافه شود. هرکدام از پیوندها را با احتمال (6.26) و A=0 در نظر می‌گیریم. درنتیجه، احتمال پیدایش پیوند جدید با درجه گره‌هایی که به آن‌ها وصل می‌شود، متناسب است. نمای درجه شبکه حاصل به‌صورت زیر است:[21 ، 22]
$\gamma = 2 + \frac{m}{{m + 2n}} \hspace{20 mm} (6 . 27)$
که نشان می‌دهد γ بین 2 و 3 است. این یعنی الحاق ترجیحی مضاعف نمای درجه را از 3 به 2 کاهش می‌دهد، بنابراین ناهمگونی شبکه را افزایش می‌دهد. درواقع با اتصال ترجیحی هاب ها به یکدیگر، پیوندهای داخلی باعث بزرگ‌تر شدن هر دو هاب می‌شوند.

**اتصال تصادفی (B=0)**

در این حالت ، پیوندهای داخلی به درجه گره‌هایی که به آن‌ها وصل می‌شوند اهمیت نمی‌دهند. درنتیجه ، پیوندهای داخلی بین جفت گره‌هایی که به‌صورت تصادفی انتخاب‌شده‌اند اضافه می‌شوند. اجازه دهید مجدداً مدل باراباشی-البرت را در نظر بگیریم، جایی که پس از اضافه کردن هر گره جدید، n پیوند بین گره‌های تصادفی انتخاب‌شده اضافه می‌کنیم. نمای درجه شبکه به‌دست‌آمده به‌صورت زیر است[22]:
$\gamma = 3 + \frac{{2n}}{m} \hspace{20 mm} (6 . 28)$
ازاین‌رو برای هر ترکیبی از n و m داریم γ≥3 ، که نشان می‌دهد شبکه حاصل همگن‌تر از شبکه بدون پیوندهای داخلی خواهد بود. درواقع، لینک‌های داخلی که به‌طور تصادفی اضافه شده‌اند روند مشاهده‌شده در شبکه‌های تصادفی را تقلید می‌کنند و باعث می‌شوند درجه گره‌ها بیشتر به هم شبیه شوند.

حذف گره

در بسیاری از سیستم‌های واقعی، گره‌ها و پیوندها می‌توانند حذف شوند. به‌عنوان‌مثال، هنگامی‌که کارمندی شرکت را ترک می‌کند، یا یک صفحه وب از شبکه وب پاک می‌شود، گره متناظر از شبکه حذف می‌شود. درحالی‌که، در برخی از شبکه‌ها، حذف گره تقریبا غیرممکن است (شکل 6.11).

شکل ۶.۱۱
عدم امکان حذف گره
تاریخچه ارجاعات به مقاله تحقیقاتی جان هندریک شون که در مجله ساینس منتشر شده است[23] در این شکل نشان داده شده است. این مثال نشان می‌دهد که حذف گره از شبکه ارجاعات چقدر می‌تواند دشوار باشد. شون به پیشرفت‌های شگرفی در زمینه نیمه‌هادی‌ها رسید و مقالات متعددی را به چاپ رساند. در سال 2001 هر 8 روز در تألیف یک مقاله پژوهشی مشارکت داشت که توسط برجسته‌ترین مجلات علمی مانند ساینس و نیچر منتشر می‌شدند.

پس‌ازآنکه شون مقاله‌ای که كشفی نوآورانه در مورد نیمه‌هادی تک‌مولکولی بود را منتشر كرد، محققان متوجه شدند كه وی در دو آزمایش كه در دماهای مختلف انجام‌شده‌اند، نویز یكسانی را گزارش کرده است [24]. تردیدهایی در پی این گزارش شکل گرفت که باعث شد لوسنت تکنولوژیز که آزمایشگاه‌های بل را که شون در آنجا مشغول به کار بود را اداره می‌کرد، تحقیقات رسمی را آغاز کند. سرانجام، شون اعتراف كرد كه داده‌ها را جعل كرده است. ده‌ها مقاله وی، مانند نمونه‌ای که الگوی ارجاع به آن در این شکل نشان داده شده است حذف شدند.

درحالی‌که پس گرفتن رسمی مقالات منجر به افت چشمگیر در ارجاعات شد، اما همان‌طور که در این شکل مشاهده می‌شود، پس از حذف رسمی مقاله‌ها، همچنان به آن‌ها ارجاع می‌شد. این امر نشان می‌دهد که حذف کامل یک گره از شبکه ارجاعات تقریباً غیرممکن است.

برای بررسی تأثیر حذف گره، از مدل باراباشی-آلبرت شروع می‌کنیم. در هر مرحله زمانی، یک گره جدید با m پیوند اضافه می‌کنیم و با نرخ r یک گره را حذف می‌کنیم. بسته به r، سه نظام مقیاسی متمایز مشاهده می‌شود[25-30]:

**فاز بی مقیاس**

برای r<1 تعداد گره‌های حذف‌شده از تعداد گره‌های جدید کوچک‌تر است، ازاین‌رو شبکه به رشد خود ادامه می‌دهد. در این حالت ، شبکه بی مقیاس توان درجه زیر را خواهد داشت:
$\gamma = 3 + \frac{2}{{1 - r}} \hspace{20 mm} (6 . 29)$
ازاین‌رو ، حذف گره تصادفی، γ را افزایش می‌دهد، که منجر به همگن شدن شبکه می‌شود.

**فاز نمایی**

برای r=1 گره‌ها با یک نرخ وارد و با همان نرخ حذف می‌شوند، ازاین‌رو شبکه دارای اندازه ثابت (N = عدد ثابت) است. در این حالت ، شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد. درواقع ، در رابطه (6.29) به ازای r→1 داریم: ‌γ→∞.

**شبکه رو به کاهش**

برای r>1 تعداد گره‌های حذف‌شده از تعداد گره‌های جدید فراتر می‌رود، ازاین‌رو شبکه روند کاهشی می‌یابد (نکته 6.5). شبکه‌های رو به کاهش در حوزه‌های مختلف پدیدار می‌شوند. به‌عنوان‌مثال، تحقیقات آلزایمر بر از دست رفتن تدریجی نورون‌ها با افزایش سن و زیست‌شناسی بر از دست رفتن تدریجی زیستگاه‌ها تمرکز دارد [31-33]. تلگراف نمونه‌ای كلاسيك از يك شبكه رو به كاهش است كه در نیمه دوم قرن نوزدهم و اوايل قرن بيستم در فضای ارتباطات از راه دور حاكم بود و در زمان خود شبکه‌ای در حال رشد بود؛ در ایالات‌متحده، طول خطوط تلگراف از 40 مایل در سال 1846 به 23000 در سال 1852 افزایش یافت. بااین‌وجود، پس از جنگ جهانی دوم، تلگراف به‌تدریج ناپدید شد.

شکل ۶.۱۲
انتقال فاز ناشی از حذف گره
رخ دادن هم‌زمان حذف گره با سایر فرایندهای پایه نظیر جذب اولیه می‌تواند به انتقال فاز و تغییر توپولوژی شبکه منجر شود که در نوع خود جالب‌توجه است. این موضوع را به کمک مدل ساده تأثیر رابطه (6.23) بر رشد شبکه و حذف گره‌ها با نرخ r نشان می‌دهیم[30]. این شبکه سه فاز مجزا را نشان می‌دهد ، که توسط نمودار فاز بالا نشان داده شده است. محورهای این نمودار نرخ حذف گره r و جذب اولیه A است:
**حذف گره زیربحرانی:r < r^*(A)**

اگر نرخ حذف گره از مقدار بحرانی *r^*(A)* که روی شکل با خط سفید نشان داده شده است کمتر باشد ، شبکه بی مقیاس خواهد بود.
**حذف گره بحرانی: r=r^*(A)**
هنگامی‌که r به یک مقدار بحرانی *r^*(A)* برسد، توزیع درجه به نمایی کشیده تبدیل می‌شود (بخش 4.A).
**شبکه‌های نمایی: r>r^* (A)**

این شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد که باعث پیدایش توزیع درجه نمایی می‌شود.

بنابراین، رخ دادن هم‌زمان چندین فرآیند پایه در یک شبکه می‌تواند به تغییرات ناگهانی در توپولوژی شبکه منجر شود. به‌طور خاص، افزایش مداوم نرخ حذف گره منجر به انتقال فاز از شبکه بی مقیاس به شبکه نمایی می‌شود.

اگر عمل حذف گره با سایر فرآیندهای پایه همراه باشد، رفتار شبکه می‌تواند بسیار پیچیده باشد که در شکل 6.12نشان داده شده است، همچنین نشان می‌دهد که حضور هم‌زمان جذب اولیه و حذف گره باعث انتقال فاز از شبکه‌های بی مقیاس به شبکه نمایی می‌شود. در آخر، باید توجه داشت که حذف گره همیشه تصادفی نیست و می‌تواند به درجه گره حذف‌شده بستگی داشته باشد (نکته 6.5).

به‌طور خلاصه ، در اکثر شبکه‌ها گره‌ها می‌توانند از بین بروند. بااین‌وجود تا زمانی که شبکه به رشد خود ادامه می‌دهد، طبیعت بی مقیاسی آن می‌تواند پابرجا بماند. بااین‌حال، نمای درجه به جزئیات روند حذف گره بستگی دارد.

نکته ۶.۵
شبکه‌های مد روبه‌زوال

صنعت پوشاک نیویورک نمونه بارز یک شبکه روبه‌زوال را نشان می‌دهد (شکل 6.1). گره‌های آن طراحان و پیمانکارانی هستند که با خط تولید سالانه پوشاک به یکدیگر وصل می‌شوند. با فروپاشی صنعت، شبکه به‌طور مداوم در حال كاهش است: بزرگ‌ترین مؤلفه متصل شبکه از 3،249 گره در سال 1985 به 190 گره در 2003 کاهش پیدا کرده است. جالب‌توجه است كه توزیع درجه شبکه در این دوره بدون تغییر باقی مانده است. تجزیه‌وتحلیل تکامل شبکه، از چندین ویژگی شبکه‌های رو به کاهش پرده برداشت [25]:

**پیوست ترجیحی**
درحالی‌که به‌طورکلی شبکه در حال کوچک شدن بود، گره‌های جدید همچنان به شبکه اضافه می‌شدند. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که احتمال اتصال این گره‌های جدید از *Π(k)* ~ *k^α* با α=1.20±0.06 (شکل 6.13a) پیروی می‌کند و همچنین شواهدی از الحاق ترجیحی فوق خطی ارائه می‌دهد (بخش 5.7).

**حذف پیوند**

احتمال اینکه یک شرکت پیوندی را از دست داده باشد برابر است با *k(t)^−η* و η=0.41±0.04، یعنی متناسب با درجه شرکت‌ها کاهش یافته است (شکل 6.13b). این نمودارها پدیده "ضعیف ضعیف‌تر می‌شود" را نشان می‌دهد. یعنی وقتی شرکتی ارتباطات کمی داشته باشد، احتمال بیشتری دارد که بازهم ارتباطات خود را از دست بدهد.

شکل ۶.۱۳
افول صنعت پوشاک

الحاق ترجیحی. احتمال اینکه یک شرکت تازه‌وارد در زمان t به یک شرکت موجود با k پیوند متصل شود ، متناسب است با اضافه کردن پیوند به‌صورت تصادفی را نشان می‌دهد. خط نقطه‌چین شیب α=1.2 دارد. اگر افزودن پیوند به‌صورت تصادفی باشد، ما انتظار داریم که این مقدار1≈ باشد.

حذف پیوند. احتمال حذف لینک از گره درجه k، نسبت به حذف لینک به‌طور تصادفی را نشان می‌دهد. خط نقطه‌چین دارای شیب η=0.41 است. اگر از دست دادن لینک به‌صورت تصادفی باشد ، احتمال نسبی باید برای هر k ، ≈1باشد.

رشد شتابان

در مدل‌هایی که تاکنون بحث شد تعداد پیوندها به‌صورت خطی با تعداد گره‌ها افزایش می‌یافت. به‌عبارت‌دیگر ، فرض کردیم که ، L=⟨k⟩N/2 به‌طوری‌که ⟨k⟩ مستقل از زمان است. این فرض برای بسیاری از شبکه‌های واقعی معقول است. بااین‌حال، در برخی از شبکه‌های واقعی تعداد پیوندها سریع‌تر از N رشد می‌کنند، که به این پدیده رشد شتابان گویند. به‌عنوان‌مثال ، درجه متوسط اینترنت از ⟨k⟩=3.42 در نوامبر 1997 به 3.96 در دسامبر 1998 افزایش یافته است [34]؛ میانگین درجه وب طی یک بازه پنج‌ماهه از 7.22 به 7.86 افزایش یافت [35، 36]؛ در شبکه‌های متابولیک، درجه متوسط متابولیت ها هم‌زمان با رشد تعداد متابولیت ها، تقریباً به‌صورت خطی رشد می‌کند [37]. برای تحلیل نتایج رشد شتابان فرض می‌کنیم در یک شبکه رو به رشد تعداد پیوندهایی که با هر گره جدید وارد می‌شوند، به‌صورت زیر باشد: [38-41]
$m(t) = m_0 t^\theta \hspace{20 mm} (6 . 30)$
برای θ=0 گره‌های جدید دارای تعداد پیوندهای یکسانی هستند. برای θ>0 ، شبکه دارای رشد شتابان خواهد بود.

توان درجه مدل آلبرت-باراباشی که رشد شتابان دارد (6.30) به‌صورت زیر است:
$\gamma = 3 + \frac{{2\theta }}{{1 - \theta }} \hspace{20 mm} (6 . 31)$
ازاین‌رو ، رشد شتابان، نمای درجه را به بیش از γ=3 سوق می‌دهد و باعث می‌شود شبکه همگون¬تر باشد. برای θ=1 نمای درجه حالت واگرایی به خود می‌گیرد و منجر به رشد فوق‌العاده شتابان می‌شود [39]. در این حالت ، ⟨k⟩ به‌طور خطی با زمان رشد می‌کند و شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد.

پیر شدن

در بسیاری از سیستم‌های واقعی، گره‌ها دارای طول عمر محدود هستند. به‌عنوان‌مثال، بازیگران دارای طول عمر فعالیت حرفه‌ای محدود هستند. طول عمر حرفه‌ای دانشمندان معمولاً مطابق با بازه زمانی است که در طی آن مقالات علمی منتشر می‌کنند. در این شبکه‌ها گره‌ها ناگهان ناپدید نمی‌شوند، بلکه در طی یک روند پیری آهسته کم‌فروغ می‌شوند و به‌تدریج میزان مشارکت آن‌ها در پیوندهای جدید کاهش می‌یابد [42-45]. محدودیت ظرفیت نیز مشابه همین پدیده تلقی می‌شود؛ چنانچه گره‌ها منابع محدودی برای مدیریت پیوندها داشته باشند، پس از رسیدن به ظرفیت خود، پیوند جدیدی نمی‌پذیرند [43].

برای درک تأثیر پیری فرض می‌کنیم که احتمال اینکه یک گره جدید به گره i وصل شود *Π(k_i,t−t_i)* باشد ، که *t_i* زمانی است که گره i به شبکه اضافه می‌شود. ازاین‌رو *t−t_i* ، سن گره است. پیری اغلب به‌صورت زیر [42] مدل می‌شود:
$\Pi (k_i ,t - t_i ) \sim k(t - t_i )^{ - \nu } \hspace{20 mm} (6 . 32)$
که ν یک پارامتر قابل تنظیم است که به‌احتمال اتصال به گره در سن خاص بستگی دارد. بسته به مقدار ν سه حالت مقیاس‌پذیر پیش می‌آید:

**ν منفی**

اگر ν<0 ، گره‌های جدید به گره‌های قدیمی‌تر متصل می‌شوند. ازاین‌رو، ν منفی نقش پیوند ترجیحی را تقویت می‌کند. در حالت حدی ν→-∞ هر گره جدید به قدیمی‌ترین گره متصل می‌شود و درنتیجه توپولوژی قطب و اقمار رخ می‌دهد (شکل 6.14a). محاسبات نشان می‌دهد که حالت بی مقیاس در این نظام پایدار است ، اما میزان نمای درجه به زیر 3 کاهش می‌یابد (شکل 6.14e). ازاین‌رو ν<0 باعث ناهمگن‌تر شدن شبکه می‌شود.

**ν مثبت**

در این حالت ، گره‌های جدید برای اتصال به گره‌های جوان‌تر تشویق می‌شوند. در حالت حدی ν→∞ هر گره به نزدیک‌ترین جد خود متصل می‌شود (شکل 6.14d). برای تجربه تأثیر پیری، نیازی به ν بسیار بزرگ نداریم: با نزدیک شدن به ν=1، توان درجه واگرا خواهد شد (شکل 6.14e). ازاین‌رو پیری تدریجی با کمرنگ کردن نقش هاب های قدیمی، شبکه را همگون‌تر می‌کند.

**ν>1**

در این حالت ، اثر پیری بر اثر پیوست ترجیحی غلبه می‌کند و منجر به از بین رفتن خاصیت بی مقیاسی می‌شود (شکل 6.14d).

شکل۶.۱۴
تأثیر پیری

**(a-d)**این شکل تصویری از توپولوژی شبکه مورد انتظار به ازای توان‌های مختلف پیری ν در رابطه (6.32) را نشان می‌دهد. در مفهوم شبکه در حال رشد، فرض می‌کنیم که احتمال اتصال به یک گره با *kτ^−ν* متناسب باشد که τ سن گره را نشان می‌دهد. برای ν منفی گره‌ها ترجیح می‌دهند به قدیمی‌ترین گره‌ها پیوند بزنند و شبکه را به یک توپولوژی قطب و اقمار تبدیل کنند. در حالت ν مثبت، گره‌های جدیدتر جذاب¬تر هستند. برای ν بزرگ، شبکه به یک زنجیره تبدیل می‌شود، زیرا گره آخر (یعنی جوان‌ترین) همیشه جذاب‌ترین گره برای گره‌های تازه‌وارد است. این شبکه‌ها برای m=1 نشان داده شده‌اند اما نمای درجه مستقل از m است.

( **(e)**) نما درجه γ در مقابل نمای پیری ν که توسط پاسخ تحلیلی مدل پیری محاسبه شده است. نمادهای بنفش نتیجه شبیه‌سازی‌ها هستند که هرکدام شبکه واحدی با N=10000 و m=1 را نشان می‌دهند.[42]

به‌طور خلاصه، نتایج موردبحث در این بخش نشان می‌دهد که طیف گسترده‌ای از فرآیندهای پایه می‌توانند بر ساختار و پویایی یک شبکه در حال رشد تأثیر بگذارند (شکل 6.15). این نتایج قدرت واقعی پارادایم شبکه‌های تکاملی را نشان می‌دهند و به ما امکان می‌دهد تا با استفاده از یک چارچوب ریاضی خودسازگار و قابل پیش‌بینی، تأثیر فرآیندهای مختلف را در توپولوژی شبکه و تکامل آن موردبررسی قرار دهیم.

شکل ۶.۱۵
فرآیندهای ابتدایی مؤثر بر توپولوژی شبکه

خلاصه‌ای از مراحل ابتدایی موردبحث در این بخش و تأثیر آن‌ها بر توزیع درجه در این شکل به تصویر کشیده شده است. هر مدل به‌عنوان تعمیمی از مدل آلبرت-باراباشی تعریف شده است.

بخش 6.6
خلاصه

همان‌طور که در این فصل نشان دادیم ، فرایندهای متنوعی، از سازگاری گرفته تا پیوندهای داخلی و سن، می‌توانند بر ساختار شبکه‌های واقعی تأثیر بگذارند. با مطالعه آن‌ها، یاد گرفتیم که چگونه از نظریه شبکه‌های تکاملی، در پیش‌بینی تأثیر رخدادهای پایه مختلف بر توپولوژی و توسعه شبکه استفاده کنیم. مثال‌های مطرح‌شده ما را به یک نتیجه‌گیری کلیدی می‌رساند: اگر می‌خواهیم ساختار یک شبکه را بفهمیم ابتدا باید پارامترهای پویایی آن را به‌درستی مشخص کنیم. توپولوژی نتیجه این پارامترها است.

ابزارهای پیشرفته به ما امکان می‌دهد که بتوانیم بسیاری از مسائلی که در فصل‌های گذشته با آن‌ها روبرو شدیم؛ از برازش صحیح گرفته تا توزیع درجه و نقش چارچوب‌های مختلف مدل‌سازی را به‌درستی توجیه کنیم. در ادامه، به‌طور خلاصه در مورد برخی از این مسائل بحث می‌کنیم.

تنوع توپولوژیکی

در فصل 4 در مورد دشواری برازش قانون توان خالص با توزیع درجه‌یک شبکه واقعی بحث کردیم. ریشه‌های این مشکل در این فصل آشکار شد؛ اگر فرآیندهای دینامیکی واقعی را که در تکامل یک شبکه نقش دارند به شمار آوریم، انتظار داریم به‌طور سیستمی از قانون توان خالص منحرف شویم. درواقع، ما چندین شکل تحلیلی برای توزیع درجه پیش‌بینی کردیم:

**قانون توان**
قانون توان خالص زمانی در یک شبکه پدیدار می‌شود که رشد شبکه تنها تحت تأثیر الحاق ترجیحی خطی باشد؛ همان‌طور که توسط مدل باراباشی - آلبرت پیش‌بینی شده است. مشاهده چنین حالتی در سیستم‌های واقعی بسیار نادر است. این مدل ایدئال، نقطه شروعی برای مطالعه توزیع درجه شبکه‌های واقعی است.

**نمایی کشیده**
اگر الحاق ترجیحی زیرخطی باشد ، توزیع درجه از نمایی کشیده پیروی می‌کند (بخش 5.7). مشابه همین رفتار در حالت حذف گره در نقطه بحرانی ظاهر می‌شود (شکل 6.12).

**اصلاحات ناشی از سازگاری**
باوجود سازگاری، شکل دقیق *p_k* به توزیع سازگاری ρ(η) بستگی دارد (رابطه 6.6). به‌عنوان‌مثال، توزیع سازگاری یکنواخت باعث اصلاح لگاریتمی در *p_k* می‌شود که در رابطه (6.8) پیش‌بینی شده است. حالت‌های دیگر ρ(η) می‌تواند به اشکال متنوع *p_k* منجر شود.

**اشباع درجه کوچک**
جذب اولیه، یک مؤلفه تصادفی را به الحاق ترجیحی اضافه می‌کند. درنتیجه، توزیع درجه، همان‌طور که در (6.24) مشاهده می‌شود، اشباع درجه کوچک را ایجاد می‌کند.

**برش درجه بالا**

حذف گره و پیوند که در بسیاری از سیستم‌های واقعی وجود دارد، می‌تواند باعث ایجاد برش درجه بالای نمایی در توزیع درجه شود. علاوه بر این، حذف تصادفی گره می‌تواند گره‌های با درجه کوچک را از بین ببرد و باعث ایجاد نقطه بیشینه در *p_k* شود.

در اکثر شبکه‌های واقعی، چندین فرآیند پایه موردبحث در این فصل باهم اتفاق می‌افتند. به‌عنوان‌مثال، در شبکه همکاری علمی، الحاق ترجیحی زیرخطی با جذب اولیه وجود دارند و پیوندها می‌توانند هم خارجی و هم داخلی باشند. ازآنجاکه محققان از خلاقیت متفاوتی برخوردار هستند، سازگاری نیز نقش مهمی ایفا می‌کند، ازاین‌رو برای داشتن مدل دقیق باید از توزیع سازگاری مناسب استفاده کنیم. بنابراین، انتظار می‌رود توزیع درجه ویژگی‌هایی نظیر اشباع درجه پایین (به لطف جذب اولیه)، برش نمایی کشیده در درجات بالا (به لطف الحاق ترجیحی زیرخطی) و برخی از اصلاحات ناشناخته به دلیل شکل خاص توزیع سازگاری ρ(η) نشان دهد.

به‌طورکلی، درصورتی‌که بخواهیم فرم دقیق توزیع درجه را به دست آوریم، ابتدا باید یک مدل مولد بسازیم که به‌صورت تحلیلی شکل تابعی *p_k* را پیش‌بینی کند. بااین‌وجود، در بسیاری از سیستم‌ها، توسعه یک نظریه دقیق برای *p_k* ممکن است ضرورت نداشته باشد و تنها کافی است تشخیص دهیم که آیا توزیع درجه یک توزیع نمایی محدود است یا پهن-دنباله (بخش 4.9)، زیرا خصوصیات سیستم در درجه اول به این ویژگی‌ها برمی‌گردد.

تنوع مدل‌سازی

نتایج این فصل به ما اجازه می‌دهد تا نقش مدل‌های شبکه که تاکنون مطرح شد را مورد تأمل قرار دهیم. می‌توانیم این مدل‌ها را به سه دسته اصلی طبقه‌بندی کنیم (جدول 6.1):
**مدل‌های استاتیک**
مدل شبکه تصادفی اردوش و رنی (فصل 3) و مدل شبکه جهان کوچک واتز و استروگاتز (نکته 3.8) دارای تعداد گره‌های ثابت هستند که باعث می‌شود آن‌ها را به‌عنوان مدل‌های ایستا بشناسیم. مدل‌سازی شبکه در هر دو مدل به استفاده از یک الگوریتم تصادفی جهت تعیین پیوند بین گره‌ها برمی‌گردد. برای کشف خصوصیات این شبکه‌ها باید به نظریه گراف ترکیبی که توسط اردوش و رینی ایجاد شده است تکیه کنیم. هر دو مدل توزیع درجه محدود را پیش‌بینی می‌کنند.
**مدل‌های مولد**
مدل‌های پیکربندی و پارامتر پنهان موردبحث در بخش 4.8 شبکه‌هایی را با توزیع درجه از پیش تعریف شده تولید می‌کنند. ازآنجاکه این مدل‌ها مکانیکی نیستند، به ما نمی‌گویند که چرا یک شبکه توزیع درجه خاصی را ایجاد می‌کند. در عوض، به ما کمک می‌کنند تا با توجه به توزیع درجه، خواص مختلف شبکه، از خوشه‌بندی گرفته تا طول مسیر را درک کنیم.
**مدل‌های شبکه تکاملی**
این مدل‌ها سازوکارهایی حاکم بر تکامل شبکه‌ها در طول زمان را موردتوجه قرار می‌دهند. بارزترین نمونه آن، مدل بارباشی-آلبرت است، اما مدل‌های دیگری که در این فصل موردبحث قرار گرفتند، از مدل بیانکونی-باراباشی گرفته تا مدل‌های مربوط به پیوندهای داخلی، پیری، حذف گره و پیوند، رشد شتابان و جذب اولیه نیز در این دسته قرار می‌گیرند. همه این مدل‌ها بر این موضوع تأکید دارند که اگر همه فرایندهای میکروسکوپی که به رشد شبکه کمک می‌کنند را به‌درستی لحاظ کنیم، می‌توانیم ویژگی‌های توپولوژیکی شبکه را تعیین کنیم. برای کشف خصوصیات شبکه‌های ایجادشده توسط این مدل‌ها، باید از روش‌های پویا مانند نظریه پیوستار و رویکرد معادله نرخ استفاده کنیم.

هر یک از این چارچوب‌های مدل‌سازی نقش مهمی در نظریه شبکه دارند. مدل اردوش-رینی به ما اجازه می‌دهد تا بررسی کنیم که آیا یک ویژگی خاص شبکه را می‌توان تنها با یک الگوی اتصال تصادفی توضیح داد. اگر علاقه ما به نقش محیط شبکه در برخی پدیده‌ها، مانند فرایندهای انتشار یا تاب‌آوری شبکه محدود شود، مدل‌های مولد نقطه شروع خوبی پیشنهاد می‌دهند. اما اگر بخواهیم منشأ یک خاصیت شبکه را درک کنیم، باید به مدل‌های تکاملی شبکه که فرآیندهای ایجاد شبکه را از ابتدا مدنظر قرار می‌دهند، متوسل شویم.

مدل مثال ویژگی

مدل ایستا اردوش-رنی
واتز-استروگاتز

N ثابت

p_k به صورت نمایی-محدود

وپولوژی ایستا، مستقل از زمان

مدل مولد مدل های پیکربندی و پارامتر پنهان

p_k دلخواه و از پیش تعریف شده *p_k*

توپولوژی ایستا، مستقل از زمان

مدل شبکه تکاملی مدل باراباشی-آلبرت
مدل بیانکونی-باراباشی
مدل های پیوندهای داخلی
حذف گره و لینک
رشد سریع و جذب اولیه
سن

*p_k* توسط فرآیندهای که در توسعه شبکه نقش دارند، تعیین می شود.

توپولوژی شبکه به زمان وابسته است

جدول ۶.۱
طبقه‌بندی مدل‌ها در علوم شبکه
این جدول سه چارچوب اصلی مدل‌سازی مورداستفاده در علم شبکه، همراه با ویژگی‌های متمایز آن‌ها را به‌طور خلاصه نشان می‌دهد

بخش 6.7
تمرینات

رشد شتابان
توان درجه مدل باراباشی-آلبرت دارای رشد شتابان را محاسبه کنید، با این فرض که درجه گره‌های تازه‌وارد در زمان به‌صورت *m(t) = t^Θ* افزایش می‌یابد.

مدل شبکه تکاملی تی پارتی
در این شبکه هر تازه‌واردی مجاز است تنها یک شرکت‌کننده دیگر را به رقص دعوت کند. در این شبکه جنسیت هیچ نقشی ایفا نمی‌کند. جذابیت تأثیرگذار است و شرکت‌کنندگان جذاب‌تر احتمال بیشتری دارند که توسط یک شرکت‌کننده جدید به رقص دعوت شوند. قوانین مهمانی عبارت است از:

هر شرکت‌کننده با یک گره i مربوط می‌شود و یک ضریب جذابیت مستقل از زمان *η_i* به آن‌ها اختصاص داده می‌شود.

در هر گام از زمان، یک گره جدید به مهمانی می‌پیوندد.

سپس این گره جدید یکی از گره‌های مهمانی را به رقص دعوت می‌کند و پیوند جدیدی با آن برقرار می‌کند.

گره جدید شریک رقص خود را با احتمال متناسب با جذابیت شریک بالقوه انتخاب می‌کند. اگر t گره در حال حاضر در مهمانی وجود داشته باشد ، احتمال اینکه گره i دعوت به رقص شود به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: $\Pi _i = \frac{{\eta _i }}{{\sum\nolimits_j {\eta _j } }} = \frac{{\eta _i }}{{t\left\langle \eta \right\rangle }}$

که ⟨η⟩ میانگین جذابیت است.

تکامل زمانی درجه گره‌ها را محاسبه کنید و بگویید که هر گره چند رقص داشته است.

توزیع درجه گره‌ها را با جذابیت η محاسبه کنید.

اگر نیمی از گره‌ها η=2 و نیمی دیگر η=1 داشته باشند ، توزیع درجه شبکه پس از مدت‌زمان به‌اندازه کافی طولانی چقدر می‌شود؟

مدل بیانکونی-باراباشی
مدل بیانکونی-باراباشی با دو ضریب سازگاری مجزا، η=a وη=1 را در نظر بگیرید. به‌طور خاص، فرض کنید که سازگاری از توزیع دلتا دوگانه پیروی می‌کند:
$\rho (\eta ) = \frac{1}{2}\delta (\eta - a) + \frac{1}{2}\delta (\eta - 1){\rm{ with }}0 \le a \le 1$
توان درجه و وابستگی آن به پارامتر a را محاسبه کنید.

توزیع درجه پایدار شبکه را محاسبه کنید.

سازگاری افزودنی
فرض کنید رشد شبکه توسط الحاق ترجیحی با سازگاری افزودنی
$\Pi (k_i ) \sim \eta _i + k_i$ کنترل می‌شود که در آن *η_i* های مختلف که از توزیع سازگاری ρ(η) انتخاب شده است به هر گره اختصاص داده می‌شود. توزیع درجه شبکه حاصل را محاسبه و درباره آن بحث کنید.

بخش 6.8
مباحث پیشرفته بخش A.۶

راه‌حل تحلیلی مدل بیانکونی-باراباشی

هدف از این بخش به دست آوردن توزیع درجه مدل بیانکونی-باراباشی است [2 ، 15 ، 16،17]. با محاسبه زیر روی تمام سازگاری‌های η شروع می‌کنیم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle$
ازآنجاکه هر گره در زمان متفاوت t₀ متولد می‌شود، می‌توانیم مجموع روی j را به‌صورت یک انتگرال روی t₀ بنویسیم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle = \int {d\eta \rho (\eta )\eta \int\limits_1^t {dt_0 k_\eta (t,t_0 )} } \hspace{20 mm} (6 . 34)$
با جایگزینی *k_η(t, t₀)* با رابطه (6.3) و انتگرال‌گیری روی t₀ ، به دست می‌آوریم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle = \int {d\eta \rho (\eta )\eta m\frac{{t - t^{\beta (\eta )} }}{{1 - \beta (\eta )}}} \hspace{20 mm} (6 . 35)$
توان پویا β(η) محدود است، یعنی 0 *<β(η)<1*، زیرا یک گره فقط می‌تواند درجه خود را با زمان (β(η)>0) افزایش دهد و*k_i(t)* نمی‌تواند سریع‌تر از t افزایش یابد *(β(η)<1*). بنابراین در حد t→∞ در رابطه (6.35) عبارت *t^β(n)* در مقایسه با t قابل‌چشم‌پوشی است.
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle \mathop = \limits^{t \to \infty } Cmt(1 - O(t^{ - \varepsilon } )) \hspace{20 mm} (6 . 36)$
که ε = (1 − max_ηβ(η)) > 0و
$C = \int {d\eta \rho (\eta )\frac{\eta }{{1 - \beta (\eta )}}} \hspace{20 mm} (6 . 37)$
با استفاده از رابطه (6.36) و نماد *k_η=k_η(t, t₀, η)* رابطه پویای (6.2) را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$\frac{{\partial k_\eta }}{{\partial t}} = \frac{{\eta k_\eta }}{{Ct}} \hspace{20 mm} (6 . 38)$
که یک راه‌حل به فرم رابطه (6.3) دارد، با توجه به:
$\beta (\eta ) = \frac{\eta }{C} \hspace{20 mm} (6 . 39)$
مهر تأییدی بر ماهیت خودسازگاری فرض (6.3) است.

برای تکمیل محاسبات باید مقدار C را از رابطه (6.37) به دست آوریم. پس از جایگزینی β(η) با η⁄C ، به دست می‌آوریم:
$1 = \int\limits_0^{\eta _{\max } } {d\eta \rho (\eta )\frac{1}{{\frac{C}{\eta } - 1}}} \hspace{20 mm} (6 . 40)$
که *η_max* حداکثر سازگاری ممکن در سیستم است. انتگرال (6.40) یگانه است. بااین‌حال، ازآنجاکه برای هر η،β(η)=η/C<1، خواهیم داشت C > *η_max* ، بنابراین حد ادغام سازی هرگز منحصربه‌فرد نمی‌شود. توجه داشته باشید ازآنجایی‌که
$Cmt = \sum\limits_j {\eta _j k_j \le \eta _{\max } \sum\limits_j {k_j = 2mt\eta _{\max } } } \hspace{20 mm} (6 . 41)$
خواهیم داشت: C ≤ 2η_max

اگر یک توان پویای منحصربه‌فرد β وجود داشته باشد ، توزیع درجه از قانون توان *p_k* ~ *k^−γ* با توان درجه γ=1/β+1پیروی می‌کند. در مدل بیانکونی-باراباشی، ما طیفی از توان‌های پویا β(η) را داریم، بنابراین *p_k* جمع وزنی روی قوانین توان مختلف است.

برای تعیین توزیع درجه در حد بزرگ N، ابتدا تعداد گره‌ها با سازگاری η و با درجه بیشتر از k، یعنی آن‌هایی که شرط *k_η(t)* > k دارند را محاسبه می‌کنیم. با استفاده از رابطه (6.3) متوجه می‌شویم که این شرط دلالت دارد بر:
$t_0 < t\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \hspace{20 mm} (6 . 42)$
دقیقاً در هر مرحله یک گره اضافه می‌شود و هر گره با احتمال ρ(η)dη دارای سازگاری η است. بنابراین به تعداد*t(m/k)^C/ηρ(η)dη* گره شرط رابطه (۶.۴۲) را برآورده می‌کنند. برای به دست آوردن تابع توزیع تجمعی (احتمال اینکه یک گره تصادفی i دارای درجه کوچک‌تر یا برابر k باشد) ، می‌نویسیم:
$P(k) = P(k_i \le k) = 1 - P(k_i > k) \approx 1 - \frac{{\int_0^{\eta _{\max } } {t\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \rho (\eta )d\eta } }}{{m_0 + t}} \approx 1 - \int_0^{\eta _{\max } } {\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \rho (\eta )d\eta } \hspace{20 mm} (6 . 43)$
که آخرین معادله برای t های بزرگ معتبر است. تابع چگالی احتمال برای توزیع درجه به‌صورت زیر است (شکل جدید رابطه (6.6)).:
$p(k) = P'(k) = \int_0^{\eta _{\max } } {\frac{C}{\eta }m^{C/\eta } k^{ - (C/\eta + 1)} \rho (\eta )d\eta } \hspace{20 mm} (6 . 44)$
بخش ۶.۹

منابع

A.L. Barabási. [1]Linked: The New Science of Networks. Perseus, Boston, 2001.

[2] G. Bianconi and A.-L. Barabási. Competition and multiscaling in evolving networks. Europhysics Letters, 54: 436-442, 2001.

[3] A.-L. Barabási, R. Albert, H. Jeong, and G. Bianconi. Power-law distribution of the world wide web. Science, 287: 2115, 2000.

P.L. Krapivsky and S. Redner. [4]Statistics of changes in lead node in connectivity-driven networks. Phys. Rev. Lett., 89:258703, 2002.
C. [5] Godreche and J. M. Luck. On leaders and condensates in a growing network. J. Stat. Mech., P07031, 2010.
J. H. [6] Fowler, C. T. Dawes, and N. A. Christakis. Model of Genetic Variation in Human Social Networks. PNAS, 106: 1720-1724, 2009.
M. O. [7]Jackson. Genetic influences on social network characteristics. PNAS, 106:1687–1688, 2009.
S.A. Burt. [8]Genes and popularity: Evidence of an evocative gene environment correlation. Psychol. Sci., 19:112–113, 2008.
J. S. Kong, N. [9]Sarshar, and V. P. Roychowdhury. Experience versus talent shapes the structure of the Web. PNAS, 105:13724-9, 2008.
A.-L. Barabási, C. [10]Song, and D. Wang. Handful of papers dominates citation. Nature, 491:40, 2012.
D. [11]Wang, C. Song, and A.-L. Barabási. Quantifying Long term scientific impact. Science, 342:127-131, 2013.

[12] M. Medo, G. Cimini, and S. Gualdi. Temporal effects in the growth of networks. Phys. Rev. Lett., 107:238701, 2011.

[13] C. Venter et al. The sequence of the human genome. Science, 291:1304-1351, 2001.

A.-L. Barabási and R. Albert. [14]Emergence of scaling in random networks. Science, 286:509-512, 1999.
G. [15]Bianconi and A.-L. Barabási. Bose-Einstein condensation in complex networks. Phys. Rev. Lett., 86: 5632–5635, 2001.
C. [16] Borgs, J. Chayes, C. Daskalakis, and S. Roch. First to market is not everything: analysis of preferential attachment with fitness. STOC’07, San Diego, California, 2007.
S. N. Dorogovtsev, J.F.F. [17]Mendes, and A.N. Samukhin. Structure of growing networks with preferential linking. Phys. Rev. Lett., 85: 4633, 2000.
C. [18]Godreche, H. Grandclaude, and J.M. Luck. Finite-time fluctuations in the degree statistics of growing networks. J. of Stat. Phys., 137:1117- 1146, 2009.
Y.-H. Eom and S. [19]Fortunato. Characterizing and Modeling Citation Dynamics. PLoS ONE, 6: e24926, 2011.
A.-L. Barabási, H. Jeong, Z. N [20] éda, E. Ravasz, A. Schubert, and T. Vicsek. Evolution of the social network of scientific collaborations. Physica A, 311: 590-614, 2002.
R. Albert, and A.-L. Barabási. Topology [21]of evolving networks: local events and universality. Phys. Rev. Lett., 85:5234-5237, 2000.

[22] G. Goshal, L. Chi, and A.-L Barabási. Uncovering the role of elementary processes in network evolution. Scientific Reports, 3:1-8, 2013.

[23] J.H. Schön, Ch. Kloc, R.C. Haddon, and B. Batlogg. A superconducting field-effect switch. Science, 288: 656–8. 2000.

D. Agin. Junk [24]Science: An Overdue Indictment of Government, Industry, and Faith Groups That Twist Science for Their Own Gain. Macmillan, New York, 2007.
S. Saavedra, F. [25]Reed-Tsochas, and B. Uzzi. Asymmetric disassembly and robustness in declining networks. PNAS, 105:16466–16471, 2008.
F. [26]Chung and L. Lu. Coupling on-line and off-line analyses for random power-law graphs. Int. Math., 1: 409-461, 2004.
C. [27]Cooper, A. Frieze, and J. Vera. Random deletion in a scalefree random graph process. Int. Math. 1, 463-483, 2004.
S. N. Dorogovtsev and J. [28]Mendes. Scaling behavior of developing and decaying networks. Europhys. Lett., 52: 33-39, 2000.
C. [29]Moore, G. Ghoshal, and M. E. J. Newman. Exact solutions for models of evolving networks with addition and deletion of nodes. Phys. Rev. E, 74: 036121, 2006.
H. [30]Bauke, C. Moore, J. Rouquier, and D. Sherrington. Topological phase transition in a network model with preferential attachment and node removal. The European Physical Journal B, 83: 519-524, 2011.
M. [31]Pascual and J. Dunne, (eds). Ecological Networks: Linking Structure to Dynamics in Food Webs. Oxford Univ Press, Oxford, 2005.

[32] R. Sole and J. Bascompte. Self-Organization in Complex Ecosystems. Princeton University Press, Princeton, 2006.

[33] U. T. Srinivasan, J. A. Dunne, J. Harte, and N. D. Martinez. Response of complex food webs to realistic extinction sequencesm. Ecology, 88:671– 682, 2007.

M. Faloutsos, P. Faloutsos, and C. Faloutsos. On [34]power-law relationships of the int ernet topology. ACM SIGCOMM Computer Communication Review, 29: 251-262, 1999.
A. Broder, R. Kumar, F. [35]Maghoul, P. Raghavan, S. Rajagopalan, R. Stata, and A. Tomkins. Graph structure in the web. Computer Networks, 33: 309-320, 2000.
J. Leskovec, J. [36]Kleinberg, and C. Faloutsos, Graph evolution: Densification and shrinking diameters. ACM TKDD07, ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data, 1:1, 2007.
H. Jeong, B. [37]Tombor, R. Albert, Z. N. Oltvai, and A.-L. Barabási. The large-scale organization of metabolic networks. Nature, 407: 651–655, 2000.
S. Dorogovtsev and J. [38]Mendes. Effect of the accelerating growth of communications networks on their structure. Phys. Rev. E, 63: 025101(R), 2001.
M. J. Gagen and J. S. [39]Mattick. Accelerating, hyperaccelerating, and decelerating networks. Phys. Rev. E, 72: 016123, 2005.
C. [40]Cooper and P. Prałat. Scale-free graphs of increasing degree. Random Structures & Algorithms, 38: 396–421, 2011.
N. Deo and A. [41]Cami. Preferential deletion in dynamic models of web-like networks. Inf. Proc. Lett., 102: 156-162, 2007.

[42] S.N. Dorogovtsev and J.F.F. Mendes. Evolution of networks with aging of sites. Phys. Rev. E, 62:1842, 2000.

[43] A.N. Amaral, A. Scala, M. Barthélémy, and H.E. Stanley. Classes of small-world networks. Proc. National Academy of Sciences USA, 97: 11149, 2000.

K. [44]Klemm and V. M. Eguiluz. Highly clustered scale free networks. Phys. Rev. E, 65: 036123, 2002.
X. Zhu, R. [45]Wang, and J.-Y. Zhu. The effect of aging on network structure. Phys. Rev. E, 68: 056121, 2003.

Fitness Distribution of Research Papers. — شکل ۶.۴

توزیع سازگاری، با اندازه‌گیری تکامل زمانی تعداد زیادی از صفحات وب به دست آمده است. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد همان‌طور که از رابطه (6.3) انتظار داشتیم، درجه هر گره از قانون توان وابسته به زمان پیروی می‌کند. شیب هر منحنی β(η_j) است که معادل با سازگاری گره η_i در رابطه (6.4) است که با نرخ ضریب ثابت افزایش میابد. این شکل نتیجه دو اندازه‌گیری بر اساس مجموعه داده‌های ثبت‌شده در فاصله سه ماه از هم است که نشان می‌دهد توزیع سازگاری مستقل از زمان است. خط نقطه‌چین نشان می‌دهد که توزیع سازگاری به‌خوبی با تابع نمایی برازش شده است[9].

برای درک بهتر این موضوع، دو گره که هم‌زمان واردشده‌اند و سازگاری آن‌ها متفاوت استη₂ > η₁ را در نظر بگیرید: با توجه به روابط (6.3) و (6.4)، اختلاف نسبی درجه آن‌ها برای t بزرگ به به‌صورت زیر رشد می‌کند:
$\frac{{k_2 - k_1 }}{{k_1 }} \sim t^{\frac{{n_2 - n_1 }}{C}} \hspace{20 mm} (6 . 10)$
درحالی‌که ممکن است تفاوت بین η₂ و η₁ کم باشد اما اختلاف نسبی بین درجه‌های آن‌ها در آینده (t بزرگ) می‌تواند چشمگیر باشد.

سازگاری در مقالات علمی

در بعضی از شبکه‌ها، پویایی و تکامل گره‌ها پیچیده‌تر از چیزی است که در رابطه (6.3) مطرح شده است. برای سنجش سازگاری آن‌ها ابتدا باید الگوی دقیق رشد آن‌ها را موردمطالعه قرار داد. برای نشان دادن این فرایند، سازگاری گره‌ها در شبکه مقالات پژوهشی و نقش آن در تخمین میزان اثرگذاری مقالات در آینده را تحلیل خواهیم کرد.

درحالی‌که به بیشتر مقالات پژوهشی تعداد کمی ارجاع می‌شود، اما تعداد کمی از مقالات وجود دارند که هزاران و حتی ده‌ها هزار بار به آن‌ها ارجاع می‌شود [10]. تعداد ارجاعات یک مقاله، به‌عنوان اثرگذاری آن مقاله به شمار می‌آید. این اختلاف اثرگذاری مقالات به میزان نوآوری و مرتبط بودن موضوع برمی‌گردد. به‌طورکلی، احتمال اینکه مقاله تحقیقاتی i در زمان t بعد از انتشار مورد استناد قرار گیرد برابر است با [11] :
$\Pi _i \sim \eta _i c_i^t P_i (t) \hspace{20 mm} (6 . 11)$
که در آن سازگاری یک مقاله (*η_i*) به ایده خلاقانه و اهمیت دستاورد ارائه شده در آن مربوط است. جمله c_i^t تعداد تجمعی ارجاعات به مقاله i در زمان t پس از انتشار آن را نشان می‌دهد. فلسفه این ضریب این است که در آینده احتمال ارجاع به مقالات پر ارجاع بیشتر از مقالاتی است که تاکنون کمتر موردتوجه قرارگرفته‌اند (اصل الحاق ترجیحی). آخرین عبارت در رابطه (6.11) نشان‌دهنده این است که تازگی هر مقاله با گذر زمان کمرنگ می‌شود، لذا چنانچه ایده‌های جدید در کارهای بعدی نیز منعکس گردد، میزان تأثیرگذاری مقاله را افزایش می‌دهد [12،11 [. مطالعات نشان می‌دهد که این محو شدن تدریجی مقالات (جمله سوم) شکل نرمال-لگاریتمی دارد.
$P_i (t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi t\sigma _i } }}e^{ - \frac{{(\ln t - \mu _i )^2 }}{{2\sigma _i^2 }}} \hspace{20 mm} (6 . 12)$
با حل معادله اصلی رابطه (6.11)، رابطه زیر برای رشد وابسته به زمان ارجاع به مقالات به دست می‌آید:
$C_i^t = m\left( {e^{\frac{{\beta \eta _i }}{A}\Phi \left( {\frac{{\ln t - \mu _i }}{{\sigma _i }}} \right)} - 1} \right) \hspace{20 mm} (6 . 13)$
که در آن
$\Phi (x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \infty }^x {e^{ - y^2 /2} dy} \hspace{20 mm} (6 . 14)$
توزیع نرمال تجمعی و m ، β و A پارامترهای سراسری هستند.

رابطه (6.13) پیش‌بینی می‌کند که تاریخچه ارجاع به مقاله i با سه پارامتر مشخص می‌شود: پارامتر تازگی *μ_i* ، زمان رسیدن یک مقاله به بالاترین میزان ارجاع، و ماندگاری *σ_i* که نرخ افت ارجاعات به یک مقاله را نشان می‌دهد. مهم‌ترین شاخص، سازگاری نسبی *η_i*′ ≡ *η_iβ*/A است که اهمیت یک مقاله نسبت به سایر مقالات را اندازه‌گیری و تأثیر نهایی آن را تعیین می‌کند (نکته 6.2).

در شکل 6.5 رابطه 6.13 با توزیع سازگاری تک‌تک مقالات یک مجله بر اساس تاریخچه ارجاعات به آن‌ها برازش شده است. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد توزیع سازگاری برترین مجله زیست‌شناسی سلولی به نام سل ، به سمت راست منتقل شده است که بیانگر درجه سازگاری بالای مقالات آن مجله است. جای تعجب نیست که این مجله یکی از بالاترین ضریب تأثیرها را در بین همه مجلات دارد. در مقایسه، سازگاری مقالات منتشر شده در مجله فیزیکال ریویو به سمت چپ منتقل‌شده که نشان می‌دهد این مجله تعداد کمی مقاله با سازگاری بالا منتشر کرده است.

به‌طور خلاصه ، چارچوب ارائه‌شده توسط مدل بیانکونی-باراباشی به ما اجازه می‌دهد تا سازگاری هر گره و شکل توزیع سازگاری ρ(η) را تعیین کنیم. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که معمولاً توزیع سازگاری برای η بزرگ به‌صورت نمایی محدود است، به عبارتی اختلاف سازگاری بین گره‌های مختلف اندک است. با گذشت زمان، این اختلافات بزرگ‌تر می‌شود و باعث ایجاد توزیع درجه قانون توان در اتصالات ورودی در وب یا ارجاعات زیاد در شبکه مقالات علمی می‌شود.

شکل 6.5
توزیع سازگاری مقالات تحقیقاتی
توزیع سازگاری مقالات منتشرشده در شش مجله در سال 1990 را نشان می‌دهد. سازگاری هر مقاله با برازش رابطه (6.13) با تاریخچه ارجاعات به مقاله در بازه زمانی طولانی 10 ساله به دست آمده است. دو مجله از فیزیک (فیزیکال ریویو بی و فیزیکال ریویو لترز ) ، یکی از زیست‌شناسی (سل) و سه مجله بین‌رشته‌ای (نیچر ، ساینس و پی ان ای اس ) هستند.

توزیع سازگاری‌های به دست آمده باهم فاصله دارند که نشان می‌دهد مجله سل مقالات با بالاترین سازگاری را منتشر می‌کند، و پس‌ازآن به ترتیب مجله‌های نیچر، ساینس، پی ان ای اس، فیزیکال ریویو لترز و فیزیکال ریویو بی قرار دارند [11].

نکته6.1
The Genetic Origins of Fitness

شکل ۶.۶
پیش‌بینی تأثیرگذاری نهایی مقالات
تاریخچه ارجاعات سالانه به دو مقاله را نشان می‌دهد. یک مقاله‌ای به نخستین پیش‌نویس ژنوم انسان (ونتر و همکاران [13]) و مقاله دیگر به کشف شبکه‌های بی مقیاس (باراباشی و آلبرت [14]) مربوط می‌شود. تأثیر اولیه این دو مقاله تفاوت زیادی باهم داشت. بر اساس گزارش WOS دو سال پس از انتشار، مقاله ژنوم انسان توانست بیش از 1400 ارجاع کسب کند درحالی‌که مقاله شبکه‌های بی مقیاس تنها 120 ارجاع به دست آورد. پویایی ارجاع طولانی‌مدت آن‌ها نیز به طرز چشمگیری متفاوت بود: تعداد ارجاعات به مقاله ژنوم انسان پس از سال دوم به نقطه اوج خود رسید، الگویی که در بیش از 85٪ از کل مقالات پژوهشی به چشم می‌خورد. در مقابل، ارجاعات سالانه به مقاله شبکه‌های بی مقیاس به مدت حدود یک دهه در حال افزایش بود.

با کمک منحنی‌های پیوسته به دست آمده از برازش رابطه (6.13) با تاریخچه ارجاعات مربوطه، می‌توانیم ارجاعات آینده به مقالات و تأثیر نهایی آن‌ها را تعیین کنیم. تأثیر نهایی متناظر با مساحت زیر منحنی برای t→∞ است. طبق رابطه (6.15) تأثیر نهایی مقاله ژنوم انسان 13105 خواهد بود درحالی‌که تأثیر نهایی مقاله شبکه‌های بی مقیاس 26183 است. بنابراین، تعداد ارجاعات اولیه به یک مقاله شاخص قوی و مناسبی برای مشخص کردن تأثیر نهایی آن نیست.

تعداد ارجاعات تنها تأثیر سابقه یک مقاله تحقیقاتی را ارائه می‌دهد و هیچ اطلاعاتی درباره اینکه آیا مقاله به نقطه اوج تأثیر خود رسیده یا همچنان رو به رشد خواهد بود، نمی‌دهد. برای ارزیابی تأثیر واقعی یک مقاله، باید تعداد ارجاعات به مقاله در طول عمرش را تعیین کنیم. تأثیر نهایی را می‌توان به کمک روابط (6.11) و (6.14) برآورد کرد. درواقع، با در نظر گرفتن حالت حدی t→∞ برای (6.13) رابطه زیر به دست می‌آید: [11]
$C_i^\infty = m\left( {e^{\eta _i } - 1} \right) \hspace{20 mm} (6 . 15)$
درنتیجه، علی‌رغم عوامل مؤثر بی‌شماری که در تاریخچه ارجاعات به مقاله اثرگذار هستند، تأثیر نهایی آن تنها با درجه سازگاری *η_i* تعیین می‌شود. همان‌طور که می‌توان سازگاری را با برازش رابطه (6.13) با سابقه ارجاعات قبلی به یک مقاله تعیین کرد، می‌توان از رابطه (6.15) برای پیش‌بینی تأثیر نهایی یک مقاله استفاده کرد ( 6.6شکل).

چگالش بوز-انیشتین

در بخش قبل دیدیم که توزیع سازگاری شبکه وب به شکل نمایی (شکل 6-4) و شبکه ارجاع مقالات دارای توزیع با نقطه اوج بود (شکل 6-5). تنوع توزیع سازگاری مشاهده‌شده در شبکه‌های مختلف یک سؤال مهم را مطرح می‌کند که چگونه توپولوژی شبکه به شکل ρ(η) بستگی دارد؟

از منظر فنی، رابطه (6.6) که *p_k* را به ρ(η) مرتبط می‌کند، به این پرسش پاسخ می‌دهد. بااین‌وجود، تأثیر واقعی توزیع سازگاری زمانی، تنها وقتی کشف شد که مشخص شد برخی از شبکه‌ها می‌توانند تحت چگالش بوز و انیشتین قرار گیرند. در این بخش درباره نگاشتی که منجر به این کشف شد و پیامدهای این کشف در توپولوژی شبکه، بحث می‌کنیم [15].

ابتدا سعی می‌کنیم بین‌بین مدل بیانکونی-باراباشی و مدل گاز بوز که خواص آن در فیزیک به‌طور گسترده موردمطالعه قرار گرفته است، تناظر برقرار کنیم (شکل 6-7):

**سازگاری ← انرژی**
به هر گره با سازگاری *η_i* انرژی *ε_i* را اختصاص می‌دهیم:
$\varepsilon _i = \frac{1}{{\beta _T }}\log \eta _i \hspace{20 mm} (6 . 16)$
در سیستم‌های فیزیکی، *β_T* نقش دمای معکوس را بازی می‌کند. از زیرنویس T برای تمایز بین *β_T* از نمای پویای β استفاده می‌کنیم. طبق رابطه (6.16) ، هر گره در شبکه با یک سطح انرژی گاز بوز متناظراست. هرچه سازگاری یک گره بیشتر باشد، انرژی آن کمتر است.

**پیوندها ← ذرات**
برای هر پیوند از گره i به گره j، ذره‌ای را به سطح انرژی *ε_j* اضافه می‌کنیم.

**گره‌ها ← سطح انرژی**
ورود گره جدید با m اتصال معادل اضافه کردن سطح انرژی جدید *ε_j* و m ذره جدید به گاز بوز است که در سطح انرژی گره‌های متصل به گره جدید قرار می‌گیرد.

شکل ۶.۷
نگاشت شبکه‌ها به مدل گاز بوز
**شبکه**

شبکه‌ای متشکل از شش گره را نشان می‌دهد که در آن هر گره با سازگاری منحصربه‌فرد *η_i* مشخص شده است. این سازگاری با رنگ گره نشان داده شده است. مقادیر سازگاری از توزیع سازگاری ρ انتخاب شده است.

**گاز بوز**

به هر سازگاری η یک سطح انرژی ε نگاشت می‌شود، درنتیجه یک گاز بوز با سطوح انرژی تصادفی پدید می‌آید. پیوندی که از یک گره جدید i به گره j می‌رود، متناظر یک ذره در سطح انرژی *ε_j* است.

**رشد**

شبکه با اضافه کردن یک گره جدید مانند گره نارنجی با سازگاری η₆ رشد می‌کند. برای m=1 گره جدید با خط‌چین به گره خاکستری ( بر اساس رابطه 6.1) متصل می‌شود. رشد، با اضافه شدن سطح انرژی جدید η₆ به گاز بوز (خط‌چین) و حضور یک ذره در ε₁ که سطح انرژی گره یک است، و به گره η₆ متصل می‌شود، متناظر است.

اگر نتایج ریاضی این نگاشت را دنبال کنیم، درمی‌یابیم که در گاز حاصل، تعداد ذرات در هر سطح انرژی از آمار بوز پیروی می‌کند، فرمولی که توسط ساتیندراناث بوز در سال 1924 به دست آمده است (نکته 6.3). درنتیجه، پیوندهای موجود در مدل سازگاری، مانند ذرات زیر اتمی در یک گاز کوانتومی رفتار می‌کنند.

نکته ۶.۳
از سازگاری تا گاز بوز

در مفهوم گاز بوز (شکل 6-7) احتمال اینکه ذره‌ای در سطح i قرار بگیرد، برابر است با:
$\Pi _i = \frac{{e^{ - \beta _T \varepsilon _i } k_i }}{{\sum\limits_j {e^{ - \beta _T \varepsilon _j } k_j } }} \hspace{20 mm} (6 . 17)$
ازاین‌رو، نرخی که سطح انرژی *ε_i* ذرات را جمع می‌کند برابر است با: [15]
$\frac{{\partial k_i (\varepsilon _i ,t,t_i )}}{{\partial t}} = m\frac{{e^{ - \beta _T \varepsilon _i } k_i (\varepsilon _i ,t,t_i )}}{{Z_t }} \hspace{20 mm} (6 . 18)$
که *k_i*(*ε_i*, t, *t_i*) عدد اشغال(occupation number) سطح انرژی i را نشان می‌دهد و
$Z_t = \sum\limits_{j = 1}^t t e^{ - \beta _T \varepsilon _j } k_j (\varepsilon _j ,t,t_j )$
تابع افراز است. راه‌حل رابطه (6.18) برابر است با:
$k_i (\varepsilon _i ,t,t_i ) = m\left( {\frac{t}{{t_i }}} \right)^{f(\varepsilon _i )} \hspace{20 mm} (6 . 19)$
که در آن*f(ε)* = *e^{−β_T (ε−μ)}* و μ پتانسیل شیمیایی است که تساوی زیر را برقرار می‌کند:
$\int {\deg (\varepsilon )\frac{1}{{e^{\beta _T (\varepsilon - \mu )} - 1}} = 1} \hspace{20 mm} (6 . 20)$
در اینجا deg(ε) انحطاط سطح انرژی ε را نشان می‌دهد. رابطه (6.20) بیان می‌کند در حالت حدی t→∞ ضریب اشغال که تعداد ذرات با انرژی ε را نشان می‌دهد، از آمار بوز پیروی می‌کند.
$n(\varepsilon ) = \frac{1}{{e^{\beta _T (\varepsilon - \mu )} - 1}} \hspace{20 mm} (6 . 21)$
نگاشت مدل سازگاری به مدل گاز بوز ثابت می‌کند درجه گره در مدل بیانکونی باراباشی از آمار بوز پیروی می‌کند.

نگاشت به مدل گاز بوز دقیق است و وجود دو فاز مجزا را پیش‌بینی می‌کند [15، 16]:

فاز بی مقیاس

در اکثر توزیع‌های سازگاری، رفتار شبکه مؤید این موضوع است که هر چه یک گره سازگاری بیشتری داشته باشد، بیشتر رشد می‌کند، یعنی درجه نهایی هر گره بر اساس سازگاری آن تعیین می‌شود. مناسب‌ترین گره در نهایت به بزرگ‌ترین هاب تبدیل می‌شود، در این فاز توزیع درجه در هرلحظه از قانون توان پیروی می‌کند که نشان می‌دهد شبکه تولیدشده دارای توپولوژی بی مقیاس است. درنتیجه ، بزرگ‌ترین هاب از رابطه (4.18) پیروی می‌کند یعنی فقط به‌صورت زیرخطی رشد می‌کند. تعدادی هاب نسبتاً کوچک‌تر، در رتبه‌های بعدی قرار دارند. همچنین این هاب ها تقریباً به اندازه سازگارترین گره دارای لینک هستند (شکل 6.9a). مدل با توزیع سازگاری یکنواخت که در بخش 6.2 بحث شد، در این فاز بی مقیاس قرار دارد.

چگالش بوز-انیشتین

نتیجه غیرمنتظره نگاشت به گاز بوز، احتمال چگالش بوز-انیشتین برای برخی توزیع‌های سازگاری است. در چگالش بوز-انیشتین، تمام ذرات در پایین‌ترین سطح انرژی تجمع می‌کنند و بقیه سطوح انرژی را خالی می‌گذارند (نکته 6.4).

در یک شبکه، چگالش بوز-انیشتین به این معنی است که سازگارترین گره بخش قابل‌توجهی از پیوندها را به دست می‌آورد و به یک ابر-هاب تبدیل می‌شود (شکل 6.9b). شبکه حاصل دیگر بی مقیاس نیست و از توپولوژی منظومه شمسی یا قطب و اقمار (یک گره بزرگ مانند خورشید در میان قرار می‌گیرد و تعداد زیادی گره به آن وصل می‌شوند) پیروی می‌کند. در این فاز، روند "پولدارها پول¬دارتر می‌شوند"، شکل افراطی می‌گیرد و به پدیده "برنده همه را می‌برد" تبدیل می‌شود. درنتیجه، شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد.

در سیستم‌های فیزیکی چگالش بوز- انیشتین به کاهش دمای گاز بوز پایین‌تر از برخی دماهای بحرانی گفته می‌شود(نکته 6.4). در شبکه‌ها، دمای *β_T* در معادله (6.16) یک متغیر ساختگی است، که از همه کمیت‌های توپولوژیکی، مانند توزیع درجه *p_k* حذف می‌شود. ازاین‌رو، وجود یا عدم وجود چگالش بوز-انیشتین فقط به شکل توزیع سازگاری ρ(η) بستگی دارد. برای اینکه یک شبکه بتواند تحت چگالش بوز-انیشتین قرار بگیرد، توزیع سازگاری باید شرط زیر را برآورده کند:
$\int\limits_{\eta _{\min } }^{\eta _{\max } } {\frac{{\eta \rho (\eta )}}{{1 - \eta }}d\eta < 1}$
توزیع سازگاری‌ای که منجر به چگالش بوز-انیشتین می‌شود:
$\rho (\eta ) = (1 - \zeta )(1 - \eta )^\zeta \hspace{20 mm} (6 . 22)$
با تغییرζ ، می‌توانیم چگالش بوز-انیشتین را القا کنیم (شکل 6.9). درواقع، این‌که رابطه (6.20) راه‌حل داشته باشد به فرم عملکردی توزیع انرژی g(ε) که با توجه به شکل ρ(η) تعیین می‌شود بستگی دارد. مخصوصاً اگر معادله (6.22) به ازای g(ε) داده شده پاسخ غیر منفی نداشته باشد، چگالش بوز-انیشتین ظاهر می‌شود، و کسر محدودی از ذرات در پایین‌ترین سطح انرژی جمع می‌شوند.

نکته ۶.۴
چگالش بوز-انیشتین

در فیزیک کلاسیک، انرژی جنبشی یک ذره در حال حرکت، E= mv²/2 ، می‌تواند هر مقداری بین صفر (حالت سکون) و یک عدد بزرگ دلخواه (حرکت بسیار سریع) داشته باشد. علاوه بر این، هر تعداد ذرات دلخواه می‌توانند انرژی یکسان داشته باشند، به شرطی که دارای سرعت برابر باشند. در مکانیک کوانتومی انرژی به‌صورت کمی است، به این معنی که فقط می‌تواند مقادیر گسسته (کمی) بگیرد. علاوه بر این، در مکانیک کوانتومی با دو کلاس مختلف از ذرات روبرو می‌شویم. ذرات فرمی ، مانند الکترون‌ها که نمی‌توانند انرژی یکسان در یک سیستم داشته باشند. بنابراین تنها یک الکترون می‌تواند سطح انرژی معینی را اشغال کند (شکل 6.8b). در مقابل، ذرات بوز، مانند فوتون‌ها می‌توانند در یک سطح انرژی، هر تعداد دلخواهی داشته باشند(شکل 6.8b).

در دماهای بالا، هنگامی‌که محرک حرارتی ذرات را مجبور به دریافت انرژی‌های مختلف می‌کند، تفاوت بین ذرات فرمی و گاز بوز ناچیز است (شکل 6.8a,b). در دماهای پایین که تمام ذرات مجبور هستند در پایین‌ترین سطح انرژی مجاز خود قرار گیرند ، این تفاوت قابل‌توجه است. در گاز فرمی در دماهای پایین، ذرات سطوح انرژی را از پایین به بالا پر می‌کنند، درست مانند ریختن آب در گلدان که آن را از پایین پر می‌کند (شکل 6.8c). بااین‌حال، ازآنجاکه هر تعداد ذرات بوز می‌توانند انرژی یکسانی داشته باشند، همه آن‌ها می‌توانند در کمترین سطح انرژی جمع شوند (شکل 6.8d). به‌عبارت‌دیگر، مهم نیست که چه مقدار "مایع بوز" را درون یک ظرف می‌ریزیم، همه‌ی مایع در انتهای ظرف باقی می‌ماند و هرگز ظرف را پر نمی‌کند. این پدیده چگالش بوز-انیشتین نامیده می‌شود و برای اولین بار در سال 1924 توسط انیشتین پیشنهاد شد. شواهد تجربی برای چگالش بوز-انشتین سال‌ها بعد در 1995 ارائه شد و منجر به دریافت جایزه نوبل 2001 در فیزیک شد.

شکل 6.8
آمار بوز و فرمی

در گاز فرمی (a ، c) فقط یک ذره مجاز است در هر سطح انرژی قرار گیرد، درحالی‌که در گاز بوز (b، d) چنین محدودیتی وجود ندارد. در دماهای بالا ، تشخیص تمایز بین این دو گاز دشوار است. اما در دمای پایین، هر ذره می‌خواهد کمترین سطح انرژی ممکن را اشغال کند و تفاوت بین این دو گاز قابل‌توجه می‌شود.

به‌طور خلاصه ، شکل دقیق توزیع سازگاری، توپولوژی یک شبکه در حال رشد را تعیین می‌کند. درحالی‌که توزیع سازگاری مانند توزیع یکنواخت، توپولوژی بی مقیاس ایجاد می‌کند، برخی مقادیر ρ(η) چگالش بوز-انیشتین را امکان‌پذیر می‌کند. اگر یک شبکه تحت چگالش بوز-انیشتین قرار گیرد، یک یا تعداد کمی از گره‌ها اکثر پیوندها را به خود اختصاص می‌دهند. ازاین‌رو، فرایندی که در شبکه‌های بی مقیاس به پدیده "ثروتمند ثروتمندتر می‌شود" معروف است تشدید می‌شود و به پدیده "همه‌چیز به برنده تعلق می‌گیرد"، تبدیل می‌شود. چگالش بوز-انیشتین چنان تأثیر آشکاری بر ساختار شبکه دارد که در صورت وجود، آثار آن کاملاً هویدا می‌شود، به عبارتی سلسله‌مراتب هاب ها که نشانه شبکه‌های بی مقیاس است از بین می‌رود و جای خود را به توپولوژی منظومه شمسی (قطب و اقمار) می‌دهد و مدلی شبیه ستاره ایجاد می‌کند (شکل 6.9 ).

منبع آنلاین ۶.۲
چگالش بوز و انیشتین در شبکه‌ها

این فیلم تکامل زمانی یک شبکه در حال رشد را نشان می‌دهد که در آن یک گره (بنفش‌رنگ) سازگاری بالاتری نسبت به بقیه گره‌ها دارد. این گره اکثر پیوندها را به خود جذب می‌کند و چگالش بوز-انیشتین را به شبکه اعمال می‌کند. این فیلم از داشون وانگ است.

شکل ۶.۹
چگالش بوز و انیشتین در شبکه‌ها
**(a,b)** هر دو شبکه توسط مدل بیانکونی-باراباشی با ρ(η) و با استفاده از رابطه (6.22) اما با توان‌های متفاوت ζ به دست آمده‌اند. توجه داشته باشید که در فاز چگالش (b) دو هاب بزرگ با اندازه‌های قابل قیاس داریم.

(**(c,d)**سطوح انرژی (خطوط سبز) و ذرات ته‌نشین شده (نقاط بنفش) برای شبکه‌ای با m=2 و N=1000 را نشان می‌دهد. هر سطح انرژی معادل سازگاری یک گره از شبکه نشان داده شده در (a ، b) است. هر پیوند یک گره با ذره‌ای در سطح انرژی مربوطه نشان داده می‌شود. ازآنجایی‌که اجازه پیوند چندگانه نداریم، دو سطح انرژی بسیار پرجمعیت در (d) ظهور کرده‌اند،که نشان می‌دهد دو چگالش رخ داده که متناظر با دو هاب دیده‌شده در (b) است.

**(e,f)**توزیع سازگاری ρ(η) که از رابطه (6.22) به‌دست‌آمده، تفاوت در شکل عملکردهای ρ(η) را نشان می‌دهد. تفاوت‌ها با پارامتر ζ نشان داده شده است، که در (e) ζ=0.1 و در (f) ζ=10 است.

شبکه‌های تکاملی

مدل باراباشی-آلبرت یک مدل مینیمال است ، که برای نشان دادن سازوکارهای ایجاد ویژگی بی مقیاسی شبکه‌ها طراحی‌شده است. درنتیجه، محدودیت‌های آشکاری نیز دارد (به بخش 5.10 هم مراجعه کنید):

γ = 3 را پیش‌بینی می‌کند، درحالی‌که نماهای درجه مشاهده‌شده به‌طور تجربی بین 2 تا 5 متغیر هستند (جدول 4.1).

مدل توزیع درجه قانون توان را پیش‌بینی می‌کند، درحالی‌که در سیستم‌های واقعی شاهد انحراف سیستم از تابع قانون توان خالص، مانند اشباع درجه-کوچک یا برش در درجات-بالا هستیم (نکته 4.8).

مدل برخی از فرایندهای ابتدایی که در بسیاری از شبکه‌های واقعی بدیهی است، مانند اضافه شدن پیوندهای داخلی و گره‌ها یا حذف پیوند را نادیده می‌گیرد.

این محدودیت‌ها الهام‌بخش پژوهش بسیار مهمی بوده است که نقش این فرآیندها را بر توپولوژی شبکه آشکار ساخته است. در این بخش مدل باراباشی-آلبرت را به‌صورت سیستماتیک گسترش می‌دهیم، و به خانواده‌ای از مدل‌های شبکه¬های در حال تکامل می‌رسیم که می‌توانند طیف گسترده‌ای از پدیده‌های شناخته‌شده مؤثر در شکل‌گیری توپولوژی شبکه‌های واقعی را توجیه کنند.

جذب اولیه

در مدل باراباشی - آلبرت ، یک گره تک افتاده نمی‌تواند پیوندی به دست آورد، زیرا با توجه به اتصال ترجیحی (4.1) احتمال اینکه گره جدید به گره k=0 وصل شود، اکیداً صفر است. در شبکه‌های واقعی حتی گره‌های تنها هم می‌توانند پیوند برقرار کنند. درواقع، با احتمال محدودی ممکن است به هر مقاله پژوهشی جدید برای اولین بار ارجاع شود. شخصی که به شهر جدیدی نقل‌مکان می‌کند به‌سرعت آشنایان زیادی به دست می‌آورد. برای اینکه گره‌های تک افتاده بتوانند پیوندهایی به دست آورند یک ثابت عددی را به تابع اتصال ترجیحی اضافه می‌کنیم (4.1) ،

$\Pi _k \sim A + k \hspace{20 mm} (6 . 23)$
در اینجا به ثابت A میزان جذب اولیه گفته می‌شود. ازآنجاکه Π(0)∼A ، جذب اولیه با احتمال اینکه گره‌ای در گام زمانی بعدی اولین پیوندش را به دست آورد، متناسب است.

شکل ۶.۱۰
جذب اولیه

تابع اتصال ترجیحی تجمعی (5.21) مربوط به شبکه ارجاعات به مقاله که الگوهای ارجاع مقاله‌های منتشرشده از سال 2007 تا 2008 را نشان می‌دهد. منحنی Π_k با استفاده از روش توصیف‌شده در بخش 5.6 اندازه‌گیری شده است. خط پیوسته به جذب اولیه A∼7.0 اشاره دارد، درحالی‌که خط‌چین معادل A=0 (گره‌های بدون جذب اولیه) است. A=7 دلالت بر این دارد که احتمال ارجاع به یک مقاله جدید برای اولین بار به احتمال استناد به مقاله‌ای که هفت ارجاع به آن وجود دارد نزدیک است. [19].

اندازه‌گیری مستقیم *Π_k* نشان می‌دهد که جذب اولیه در شبکه‌های واقعی وجود دارد (شکل 6.10) که دو نتیجه به همراه دارد:

**توان درجه را افزایش می‌دهد**
اگر در مدل باراباشی - آلبرت رابطه (4.1) را با (6.23) جایگزین کنیم، توان درجه مطابق با معادله زیر خواهد شد[17 ، 18] $\gamma = 3 + \frac{A}{m} \hspace{20 mm} (6 . 24)$
درنتیجه ، جذب اولیه γ را افزایش می‌دهد، شبکه را یکدست‌تر می‌کند و اندازه هاب ها را کاهش می‌دهد. درواقع ، جذب اولیه یک مؤلفه تصادفی را به‌احتمال اتصال به یک گره می‌افزاید. این مؤلفه تصادفی به گره‌های با درجه خیلی کوچک تمایل دارد و نقش پیوست ترجیحی را تضعیف می‌کند. برای گره‌های با درجه بالا، وزن عبارت جذب اولیه A در رابطه (6.23) ناچیز است.

**اشباع درجه‌های کوچک**

راه‌حل معادله پیوستار نشان می‌دهد که توزیع درجه شبکه تحت کنترل رابطه (6.23) از قانون توان خالص پیروی نمی‌کند و به شکل زیر است:
$p_k = C(k + A)^{ - \gamma } \hspace{20 mm} (6 . 25)$
بنابراین ، جذب اولیه برای k<A ، اشباع درجه‌های کوچک را القا می‌کند و نقش *k_sat* در رابطه (4.39) را بازی می‌کند. ریشه این اشباع در این است که جذب اولیه احتمال پیوند گره‌های جدید به گره‌های با درجه کوچک را افزایش می‌دهد و از رشد گره‌های کوچک حمایت می‌کند. برای درجه‌های بالاتر (k≫A) توزیع درجه از قانون توان پیروی می‌کند ، زیرا در این محدوده، جذب اولیه احتمال پیوند را تغییر نمی‌دهد.

پیوندهای داخلی

در بسیاری از شبکه‌ها، پیوندهای جدید نه‌تنها با گره‌های جدید شکل می‌گیرند بلکه بین گره‌های موجود نیز اضافه می‌شوند. به پیوند بین گره‌های موجود، پیوند داخلی می‌گوییم. به‌عنوان‌مثال، اکثریت قریب به‌اتفاق پیوندهای جدید در شبکه وب پیوندهای داخلی هستند که مربوط به اضافه شدن پیوندهای تازه بین اسناد وب موجود است. به‌طور مشابه، تقریباً تمام پیوندهای اجتماعی یا دوستی‌های جدید بین افرادی شکل می‌گیرد که از قبل دوستان و آشنایان دیگری داشتند.

اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که در شبکه‌هایی که باهم تعامل دارند، پیوندهای داخلی از الحاق ترجیحی مضاعف پیروی می‌کنند، یعنی احتمال اینکه پیوند داخلی جدیدی بین گره‌هایی با درجه k و k^' ایجاد شود برابر است با [20]

$\Pi (k,k') \sim (A + Bk)(A + Bk)' \hspace{20 mm} (6 . 26)$
برای درک بهتر تأثیر پیوندهای داخلی، چند نمونه از رابطه (6.26) را بررسی می‌کنیم:

**الحاق ترجیحی مضاعف (A=0)**

تعمیمی از مدل باراباشی-آلبرت را در نظر بگیرید که در هر مرحله زمانی یک گره جدید با m پیوند جدید و nپیوند داخلی به شبکه اضافه شود. هرکدام از پیوندها را با احتمال (6.26) و A=0 در نظر می‌گیریم. درنتیجه، احتمال پیدایش پیوند جدید با درجه گره‌هایی که به آن‌ها وصل می‌شود، متناسب است. نمای درجه شبکه حاصل به‌صورت زیر است:[21 ، 22]
$\gamma = 2 + \frac{m}{{m + 2n}} \hspace{20 mm} (6 . 27)$
که نشان می‌دهد γ بین 2 و 3 است. این یعنی الحاق ترجیحی مضاعف نمای درجه را از 3 به 2 کاهش می‌دهد، بنابراین ناهمگونی شبکه را افزایش می‌دهد. درواقع با اتصال ترجیحی هاب ها به یکدیگر، پیوندهای داخلی باعث بزرگ‌تر شدن هر دو هاب می‌شوند.

**اتصال تصادفی (B=0)**

در این حالت ، پیوندهای داخلی به درجه گره‌هایی که به آن‌ها وصل می‌شوند اهمیت نمی‌دهند. درنتیجه ، پیوندهای داخلی بین جفت گره‌هایی که به‌صورت تصادفی انتخاب‌شده‌اند اضافه می‌شوند. اجازه دهید مجدداً مدل باراباشی-البرت را در نظر بگیریم، جایی که پس از اضافه کردن هر گره جدید، n پیوند بین گره‌های تصادفی انتخاب‌شده اضافه می‌کنیم. نمای درجه شبکه به‌دست‌آمده به‌صورت زیر است[22]:
$\gamma = 3 + \frac{{2n}}{m} \hspace{20 mm} (6 . 28)$
ازاین‌رو برای هر ترکیبی از n و m داریم γ≥3 ، که نشان می‌دهد شبکه حاصل همگن‌تر از شبکه بدون پیوندهای داخلی خواهد بود. درواقع، لینک‌های داخلی که به‌طور تصادفی اضافه شده‌اند روند مشاهده‌شده در شبکه‌های تصادفی را تقلید می‌کنند و باعث می‌شوند درجه گره‌ها بیشتر به هم شبیه شوند.

حذف گره

در بسیاری از سیستم‌های واقعی، گره‌ها و پیوندها می‌توانند حذف شوند. به‌عنوان‌مثال، هنگامی‌که کارمندی شرکت را ترک می‌کند، یا یک صفحه وب از شبکه وب پاک می‌شود، گره متناظر از شبکه حذف می‌شود. درحالی‌که، در برخی از شبکه‌ها، حذف گره تقریبا غیرممکن است (شکل 6.11).

شکل ۶.۱۱
عدم امکان حذف گره
تاریخچه ارجاعات به مقاله تحقیقاتی جان هندریک شون که در مجله ساینس منتشر شده است[23] در این شکل نشان داده شده است. این مثال نشان می‌دهد که حذف گره از شبکه ارجاعات چقدر می‌تواند دشوار باشد. شون به پیشرفت‌های شگرفی در زمینه نیمه‌هادی‌ها رسید و مقالات متعددی را به چاپ رساند. در سال 2001 هر 8 روز در تألیف یک مقاله پژوهشی مشارکت داشت که توسط برجسته‌ترین مجلات علمی مانند ساینس و نیچر منتشر می‌شدند.

پس‌ازآنکه شون مقاله‌ای که كشفی نوآورانه در مورد نیمه‌هادی تک‌مولکولی بود را منتشر كرد، محققان متوجه شدند كه وی در دو آزمایش كه در دماهای مختلف انجام‌شده‌اند، نویز یكسانی را گزارش کرده است [24]. تردیدهایی در پی این گزارش شکل گرفت که باعث شد لوسنت تکنولوژیز که آزمایشگاه‌های بل را که شون در آنجا مشغول به کار بود را اداره می‌کرد، تحقیقات رسمی را آغاز کند. سرانجام، شون اعتراف كرد كه داده‌ها را جعل كرده است. ده‌ها مقاله وی، مانند نمونه‌ای که الگوی ارجاع به آن در این شکل نشان داده شده است حذف شدند.

درحالی‌که پس گرفتن رسمی مقالات منجر به افت چشمگیر در ارجاعات شد، اما همان‌طور که در این شکل مشاهده می‌شود، پس از حذف رسمی مقاله‌ها، همچنان به آن‌ها ارجاع می‌شد. این امر نشان می‌دهد که حذف کامل یک گره از شبکه ارجاعات تقریباً غیرممکن است.

برای بررسی تأثیر حذف گره، از مدل باراباشی-آلبرت شروع می‌کنیم. در هر مرحله زمانی، یک گره جدید با m پیوند اضافه می‌کنیم و با نرخ r یک گره را حذف می‌کنیم. بسته به r، سه نظام مقیاسی متمایز مشاهده می‌شود[25-30]:

**فاز بی مقیاس**

برای r<1 تعداد گره‌های حذف‌شده از تعداد گره‌های جدید کوچک‌تر است، ازاین‌رو شبکه به رشد خود ادامه می‌دهد. در این حالت ، شبکه بی مقیاس توان درجه زیر را خواهد داشت:
$\gamma = 3 + \frac{2}{{1 - r}} \hspace{20 mm} (6 . 29)$
ازاین‌رو ، حذف گره تصادفی، γ را افزایش می‌دهد، که منجر به همگن شدن شبکه می‌شود.

**فاز نمایی**

برای r=1 گره‌ها با یک نرخ وارد و با همان نرخ حذف می‌شوند، ازاین‌رو شبکه دارای اندازه ثابت (N = عدد ثابت) است. در این حالت ، شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد. درواقع ، در رابطه (6.29) به ازای r→1 داریم: ‌γ→∞.

**شبکه رو به کاهش**

برای r>1 تعداد گره‌های حذف‌شده از تعداد گره‌های جدید فراتر می‌رود، ازاین‌رو شبکه روند کاهشی می‌یابد (نکته 6.5). شبکه‌های رو به کاهش در حوزه‌های مختلف پدیدار می‌شوند. به‌عنوان‌مثال، تحقیقات آلزایمر بر از دست رفتن تدریجی نورون‌ها با افزایش سن و زیست‌شناسی بر از دست رفتن تدریجی زیستگاه‌ها تمرکز دارد [31-33]. تلگراف نمونه‌ای كلاسيك از يك شبكه رو به كاهش است كه در نیمه دوم قرن نوزدهم و اوايل قرن بيستم در فضای ارتباطات از راه دور حاكم بود و در زمان خود شبکه‌ای در حال رشد بود؛ در ایالات‌متحده، طول خطوط تلگراف از 40 مایل در سال 1846 به 23000 در سال 1852 افزایش یافت. بااین‌وجود، پس از جنگ جهانی دوم، تلگراف به‌تدریج ناپدید شد.

شکل ۶.۱۲
انتقال فاز ناشی از حذف گره
رخ دادن هم‌زمان حذف گره با سایر فرایندهای پایه نظیر جذب اولیه می‌تواند به انتقال فاز و تغییر توپولوژی شبکه منجر شود که در نوع خود جالب‌توجه است. این موضوع را به کمک مدل ساده تأثیر رابطه (6.23) بر رشد شبکه و حذف گره‌ها با نرخ r نشان می‌دهیم[30]. این شبکه سه فاز مجزا را نشان می‌دهد ، که توسط نمودار فاز بالا نشان داده شده است. محورهای این نمودار نرخ حذف گره r و جذب اولیه A است:
**حذف گره زیربحرانی:r < r^*(A)**

اگر نرخ حذف گره از مقدار بحرانی *r^*(A)* که روی شکل با خط سفید نشان داده شده است کمتر باشد ، شبکه بی مقیاس خواهد بود.
**حذف گره بحرانی: r=r^*(A)**
هنگامی‌که r به یک مقدار بحرانی *r^*(A)* برسد، توزیع درجه به نمایی کشیده تبدیل می‌شود (بخش 4.A).
**شبکه‌های نمایی: r>r^* (A)**

این شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد که باعث پیدایش توزیع درجه نمایی می‌شود.

بنابراین، رخ دادن هم‌زمان چندین فرآیند پایه در یک شبکه می‌تواند به تغییرات ناگهانی در توپولوژی شبکه منجر شود. به‌طور خاص، افزایش مداوم نرخ حذف گره منجر به انتقال فاز از شبکه بی مقیاس به شبکه نمایی می‌شود.

اگر عمل حذف گره با سایر فرآیندهای پایه همراه باشد، رفتار شبکه می‌تواند بسیار پیچیده باشد که در شکل 6.12نشان داده شده است، همچنین نشان می‌دهد که حضور هم‌زمان جذب اولیه و حذف گره باعث انتقال فاز از شبکه‌های بی مقیاس به شبکه نمایی می‌شود. در آخر، باید توجه داشت که حذف گره همیشه تصادفی نیست و می‌تواند به درجه گره حذف‌شده بستگی داشته باشد (نکته 6.5).

به‌طور خلاصه ، در اکثر شبکه‌ها گره‌ها می‌توانند از بین بروند. بااین‌وجود تا زمانی که شبکه به رشد خود ادامه می‌دهد، طبیعت بی مقیاسی آن می‌تواند پابرجا بماند. بااین‌حال، نمای درجه به جزئیات روند حذف گره بستگی دارد.

نکته ۶.۵
شبکه‌های مد روبه‌زوال

صنعت پوشاک نیویورک نمونه بارز یک شبکه روبه‌زوال را نشان می‌دهد (شکل 6.1). گره‌های آن طراحان و پیمانکارانی هستند که با خط تولید سالانه پوشاک به یکدیگر وصل می‌شوند. با فروپاشی صنعت، شبکه به‌طور مداوم در حال كاهش است: بزرگ‌ترین مؤلفه متصل شبکه از 3،249 گره در سال 1985 به 190 گره در 2003 کاهش پیدا کرده است. جالب‌توجه است كه توزیع درجه شبکه در این دوره بدون تغییر باقی مانده است. تجزیه‌وتحلیل تکامل شبکه، از چندین ویژگی شبکه‌های رو به کاهش پرده برداشت [25]:

**پیوست ترجیحی**
درحالی‌که به‌طورکلی شبکه در حال کوچک شدن بود، گره‌های جدید همچنان به شبکه اضافه می‌شدند. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهد که احتمال اتصال این گره‌های جدید از *Π(k)* ~ *k^α* با α=1.20±0.06 (شکل 6.13a) پیروی می‌کند و همچنین شواهدی از الحاق ترجیحی فوق خطی ارائه می‌دهد (بخش 5.7).

**حذف پیوند**

احتمال اینکه یک شرکت پیوندی را از دست داده باشد برابر است با *k(t)^−η* و η=0.41±0.04، یعنی متناسب با درجه شرکت‌ها کاهش یافته است (شکل 6.13b). این نمودارها پدیده "ضعیف ضعیف‌تر می‌شود" را نشان می‌دهد. یعنی وقتی شرکتی ارتباطات کمی داشته باشد، احتمال بیشتری دارد که بازهم ارتباطات خود را از دست بدهد.

شکل ۶.۱۳
افول صنعت پوشاک

الحاق ترجیحی. احتمال اینکه یک شرکت تازه‌وارد در زمان t به یک شرکت موجود با k پیوند متصل شود ، متناسب است با اضافه کردن پیوند به‌صورت تصادفی را نشان می‌دهد. خط نقطه‌چین شیب α=1.2 دارد. اگر افزودن پیوند به‌صورت تصادفی باشد، ما انتظار داریم که این مقدار1≈ باشد.

حذف پیوند. احتمال حذف لینک از گره درجه k، نسبت به حذف لینک به‌طور تصادفی را نشان می‌دهد. خط نقطه‌چین دارای شیب η=0.41 است. اگر از دست دادن لینک به‌صورت تصادفی باشد ، احتمال نسبی باید برای هر k ، ≈1باشد.

رشد شتابان

در مدل‌هایی که تاکنون بحث شد تعداد پیوندها به‌صورت خطی با تعداد گره‌ها افزایش می‌یافت. به‌عبارت‌دیگر ، فرض کردیم که ، L=⟨k⟩N/2 به‌طوری‌که ⟨k⟩ مستقل از زمان است. این فرض برای بسیاری از شبکه‌های واقعی معقول است. بااین‌حال، در برخی از شبکه‌های واقعی تعداد پیوندها سریع‌تر از N رشد می‌کنند، که به این پدیده رشد شتابان گویند. به‌عنوان‌مثال ، درجه متوسط اینترنت از ⟨k⟩=3.42 در نوامبر 1997 به 3.96 در دسامبر 1998 افزایش یافته است [34]؛ میانگین درجه وب طی یک بازه پنج‌ماهه از 7.22 به 7.86 افزایش یافت [35، 36]؛ در شبکه‌های متابولیک، درجه متوسط متابولیت ها هم‌زمان با رشد تعداد متابولیت ها، تقریباً به‌صورت خطی رشد می‌کند [37]. برای تحلیل نتایج رشد شتابان فرض می‌کنیم در یک شبکه رو به رشد تعداد پیوندهایی که با هر گره جدید وارد می‌شوند، به‌صورت زیر باشد: [38-41]
$m(t) = m_0 t^\theta \hspace{20 mm} (6 . 30)$
برای θ=0 گره‌های جدید دارای تعداد پیوندهای یکسانی هستند. برای θ>0 ، شبکه دارای رشد شتابان خواهد بود.

توان درجه مدل آلبرت-باراباشی که رشد شتابان دارد (6.30) به‌صورت زیر است:
$\gamma = 3 + \frac{{2\theta }}{{1 - \theta }} \hspace{20 mm} (6 . 31)$
ازاین‌رو ، رشد شتابان، نمای درجه را به بیش از γ=3 سوق می‌دهد و باعث می‌شود شبکه همگون¬تر باشد. برای θ=1 نمای درجه حالت واگرایی به خود می‌گیرد و منجر به رشد فوق‌العاده شتابان می‌شود [39]. در این حالت ، ⟨k⟩ به‌طور خطی با زمان رشد می‌کند و شبکه ماهیت بی مقیاسی خود را از دست می‌دهد.

پیر شدن

در بسیاری از سیستم‌های واقعی، گره‌ها دارای طول عمر محدود هستند. به‌عنوان‌مثال، بازیگران دارای طول عمر فعالیت حرفه‌ای محدود هستند. طول عمر حرفه‌ای دانشمندان معمولاً مطابق با بازه زمانی است که در طی آن مقالات علمی منتشر می‌کنند. در این شبکه‌ها گره‌ها ناگهان ناپدید نمی‌شوند، بلکه در طی یک روند پیری آهسته کم‌فروغ می‌شوند و به‌تدریج میزان مشارکت آن‌ها در پیوندهای جدید کاهش می‌یابد [42-45]. محدودیت ظرفیت نیز مشابه همین پدیده تلقی می‌شود؛ چنانچه گره‌ها منابع محدودی برای مدیریت پیوندها داشته باشند، پس از رسیدن به ظرفیت خود، پیوند جدیدی نمی‌پذیرند [43].

برای درک تأثیر پیری فرض می‌کنیم که احتمال اینکه یک گره جدید به گره i وصل شود *Π(k_i,t−t_i)* باشد ، که *t_i* زمانی است که گره i به شبکه اضافه می‌شود. ازاین‌رو *t−t_i* ، سن گره است. پیری اغلب به‌صورت زیر [42] مدل می‌شود:
$\Pi (k_i ,t - t_i ) \sim k(t - t_i )^{ - \nu } \hspace{20 mm} (6 . 32)$
که ν یک پارامتر قابل تنظیم است که به‌احتمال اتصال به گره در سن خاص بستگی دارد. بسته به مقدار ν سه حالت مقیاس‌پذیر پیش می‌آید:

**ν منفی**

اگر ν<0 ، گره‌های جدید به گره‌های قدیمی‌تر متصل می‌شوند. ازاین‌رو، ν منفی نقش پیوند ترجیحی را تقویت می‌کند. در حالت حدی ν→-∞ هر گره جدید به قدیمی‌ترین گره متصل می‌شود و درنتیجه توپولوژی قطب و اقمار رخ می‌دهد (شکل 6.14a). محاسبات نشان می‌دهد که حالت بی مقیاس در این نظام پایدار است ، اما میزان نمای درجه به زیر 3 کاهش می‌یابد (شکل 6.14e). ازاین‌رو ν<0 باعث ناهمگن‌تر شدن شبکه می‌شود.

**ν مثبت**

در این حالت ، گره‌های جدید برای اتصال به گره‌های جوان‌تر تشویق می‌شوند. در حالت حدی ν→∞ هر گره به نزدیک‌ترین جد خود متصل می‌شود (شکل 6.14d). برای تجربه تأثیر پیری، نیازی به ν بسیار بزرگ نداریم: با نزدیک شدن به ν=1، توان درجه واگرا خواهد شد (شکل 6.14e). ازاین‌رو پیری تدریجی با کمرنگ کردن نقش هاب های قدیمی، شبکه را همگون‌تر می‌کند.

**ν>1**

در این حالت ، اثر پیری بر اثر پیوست ترجیحی غلبه می‌کند و منجر به از بین رفتن خاصیت بی مقیاسی می‌شود (شکل 6.14d).

شکل۶.۱۴
تأثیر پیری

**(a-d)**این شکل تصویری از توپولوژی شبکه مورد انتظار به ازای توان‌های مختلف پیری ν در رابطه (6.32) را نشان می‌دهد. در مفهوم شبکه در حال رشد، فرض می‌کنیم که احتمال اتصال به یک گره با *kτ^−ν* متناسب باشد که τ سن گره را نشان می‌دهد. برای ν منفی گره‌ها ترجیح می‌دهند به قدیمی‌ترین گره‌ها پیوند بزنند و شبکه را به یک توپولوژی قطب و اقمار تبدیل کنند. در حالت ν مثبت، گره‌های جدیدتر جذاب¬تر هستند. برای ν بزرگ، شبکه به یک زنجیره تبدیل می‌شود، زیرا گره آخر (یعنی جوان‌ترین) همیشه جذاب‌ترین گره برای گره‌های تازه‌وارد است. این شبکه‌ها برای m=1 نشان داده شده‌اند اما نمای درجه مستقل از m است.

( **(e)**) نما درجه γ در مقابل نمای پیری ν که توسط پاسخ تحلیلی مدل پیری محاسبه شده است. نمادهای بنفش نتیجه شبیه‌سازی‌ها هستند که هرکدام شبکه واحدی با N=10000 و m=1 را نشان می‌دهند.[42]

به‌طور خلاصه، نتایج موردبحث در این بخش نشان می‌دهد که طیف گسترده‌ای از فرآیندهای پایه می‌توانند بر ساختار و پویایی یک شبکه در حال رشد تأثیر بگذارند (شکل 6.15). این نتایج قدرت واقعی پارادایم شبکه‌های تکاملی را نشان می‌دهند و به ما امکان می‌دهد تا با استفاده از یک چارچوب ریاضی خودسازگار و قابل پیش‌بینی، تأثیر فرآیندهای مختلف را در توپولوژی شبکه و تکامل آن موردبررسی قرار دهیم.

شکل ۶.۱۵
فرآیندهای ابتدایی مؤثر بر توپولوژی شبکه

خلاصه‌ای از مراحل ابتدایی موردبحث در این بخش و تأثیر آن‌ها بر توزیع درجه در این شکل به تصویر کشیده شده است. هر مدل به‌عنوان تعمیمی از مدل آلبرت-باراباشی تعریف شده است.

بخش 6.6
خلاصه

همان‌طور که در این فصل نشان دادیم ، فرایندهای متنوعی، از سازگاری گرفته تا پیوندهای داخلی و سن، می‌توانند بر ساختار شبکه‌های واقعی تأثیر بگذارند. با مطالعه آن‌ها، یاد گرفتیم که چگونه از نظریه شبکه‌های تکاملی، در پیش‌بینی تأثیر رخدادهای پایه مختلف بر توپولوژی و توسعه شبکه استفاده کنیم. مثال‌های مطرح‌شده ما را به یک نتیجه‌گیری کلیدی می‌رساند: اگر می‌خواهیم ساختار یک شبکه را بفهمیم ابتدا باید پارامترهای پویایی آن را به‌درستی مشخص کنیم. توپولوژی نتیجه این پارامترها است.

ابزارهای پیشرفته به ما امکان می‌دهد که بتوانیم بسیاری از مسائلی که در فصل‌های گذشته با آن‌ها روبرو شدیم؛ از برازش صحیح گرفته تا توزیع درجه و نقش چارچوب‌های مختلف مدل‌سازی را به‌درستی توجیه کنیم. در ادامه، به‌طور خلاصه در مورد برخی از این مسائل بحث می‌کنیم.

تنوع توپولوژیکی

در فصل 4 در مورد دشواری برازش قانون توان خالص با توزیع درجه‌یک شبکه واقعی بحث کردیم. ریشه‌های این مشکل در این فصل آشکار شد؛ اگر فرآیندهای دینامیکی واقعی را که در تکامل یک شبکه نقش دارند به شمار آوریم، انتظار داریم به‌طور سیستمی از قانون توان خالص منحرف شویم. درواقع، ما چندین شکل تحلیلی برای توزیع درجه پیش‌بینی کردیم:

**قانون توان**
قانون توان خالص زمانی در یک شبکه پدیدار می‌شود که رشد شبکه تنها تحت تأثیر الحاق ترجیحی خطی باشد؛ همان‌طور که توسط مدل باراباشی - آلبرت پیش‌بینی شده است. مشاهده چنین حالتی در سیستم‌های واقعی بسیار نادر است. این مدل ایدئال، نقطه شروعی برای مطالعه توزیع درجه شبکه‌های واقعی است.

**نمایی کشیده**
اگر الحاق ترجیحی زیرخطی باشد ، توزیع درجه از نمایی کشیده پیروی می‌کند (بخش 5.7). مشابه همین رفتار در حالت حذف گره در نقطه بحرانی ظاهر می‌شود (شکل 6.12).

**اصلاحات ناشی از سازگاری**
باوجود سازگاری، شکل دقیق *p_k* به توزیع سازگاری ρ(η) بستگی دارد (رابطه 6.6). به‌عنوان‌مثال، توزیع سازگاری یکنواخت باعث اصلاح لگاریتمی در *p_k* می‌شود که در رابطه (6.8) پیش‌بینی شده است. حالت‌های دیگر ρ(η) می‌تواند به اشکال متنوع *p_k* منجر شود.

**اشباع درجه کوچک**
جذب اولیه، یک مؤلفه تصادفی را به الحاق ترجیحی اضافه می‌کند. درنتیجه، توزیع درجه، همان‌طور که در (6.24) مشاهده می‌شود، اشباع درجه کوچک را ایجاد می‌کند.

**برش درجه بالا**

حذف گره و پیوند که در بسیاری از سیستم‌های واقعی وجود دارد، می‌تواند باعث ایجاد برش درجه بالای نمایی در توزیع درجه شود. علاوه بر این، حذف تصادفی گره می‌تواند گره‌های با درجه کوچک را از بین ببرد و باعث ایجاد نقطه بیشینه در *p_k* شود.

در اکثر شبکه‌های واقعی، چندین فرآیند پایه موردبحث در این فصل باهم اتفاق می‌افتند. به‌عنوان‌مثال، در شبکه همکاری علمی، الحاق ترجیحی زیرخطی با جذب اولیه وجود دارند و پیوندها می‌توانند هم خارجی و هم داخلی باشند. ازآنجاکه محققان از خلاقیت متفاوتی برخوردار هستند، سازگاری نیز نقش مهمی ایفا می‌کند، ازاین‌رو برای داشتن مدل دقیق باید از توزیع سازگاری مناسب استفاده کنیم. بنابراین، انتظار می‌رود توزیع درجه ویژگی‌هایی نظیر اشباع درجه پایین (به لطف جذب اولیه)، برش نمایی کشیده در درجات بالا (به لطف الحاق ترجیحی زیرخطی) و برخی از اصلاحات ناشناخته به دلیل شکل خاص توزیع سازگاری ρ(η) نشان دهد.

به‌طورکلی، درصورتی‌که بخواهیم فرم دقیق توزیع درجه را به دست آوریم، ابتدا باید یک مدل مولد بسازیم که به‌صورت تحلیلی شکل تابعی *p_k* را پیش‌بینی کند. بااین‌وجود، در بسیاری از سیستم‌ها، توسعه یک نظریه دقیق برای *p_k* ممکن است ضرورت نداشته باشد و تنها کافی است تشخیص دهیم که آیا توزیع درجه یک توزیع نمایی محدود است یا پهن-دنباله (بخش 4.9)، زیرا خصوصیات سیستم در درجه اول به این ویژگی‌ها برمی‌گردد.

تنوع مدل‌سازی

نتایج این فصل به ما اجازه می‌دهد تا نقش مدل‌های شبکه که تاکنون مطرح شد را مورد تأمل قرار دهیم. می‌توانیم این مدل‌ها را به سه دسته اصلی طبقه‌بندی کنیم (جدول 6.1):
**مدل‌های استاتیک**
مدل شبکه تصادفی اردوش و رنی (فصل 3) و مدل شبکه جهان کوچک واتز و استروگاتز (نکته 3.8) دارای تعداد گره‌های ثابت هستند که باعث می‌شود آن‌ها را به‌عنوان مدل‌های ایستا بشناسیم. مدل‌سازی شبکه در هر دو مدل به استفاده از یک الگوریتم تصادفی جهت تعیین پیوند بین گره‌ها برمی‌گردد. برای کشف خصوصیات این شبکه‌ها باید به نظریه گراف ترکیبی که توسط اردوش و رینی ایجاد شده است تکیه کنیم. هر دو مدل توزیع درجه محدود را پیش‌بینی می‌کنند.
**مدل‌های مولد**
مدل‌های پیکربندی و پارامتر پنهان موردبحث در بخش 4.8 شبکه‌هایی را با توزیع درجه از پیش تعریف شده تولید می‌کنند. ازآنجاکه این مدل‌ها مکانیکی نیستند، به ما نمی‌گویند که چرا یک شبکه توزیع درجه خاصی را ایجاد می‌کند. در عوض، به ما کمک می‌کنند تا با توجه به توزیع درجه، خواص مختلف شبکه، از خوشه‌بندی گرفته تا طول مسیر را درک کنیم.
**مدل‌های شبکه تکاملی**
این مدل‌ها سازوکارهایی حاکم بر تکامل شبکه‌ها در طول زمان را موردتوجه قرار می‌دهند. بارزترین نمونه آن، مدل بارباشی-آلبرت است، اما مدل‌های دیگری که در این فصل موردبحث قرار گرفتند، از مدل بیانکونی-باراباشی گرفته تا مدل‌های مربوط به پیوندهای داخلی، پیری، حذف گره و پیوند، رشد شتابان و جذب اولیه نیز در این دسته قرار می‌گیرند. همه این مدل‌ها بر این موضوع تأکید دارند که اگر همه فرایندهای میکروسکوپی که به رشد شبکه کمک می‌کنند را به‌درستی لحاظ کنیم، می‌توانیم ویژگی‌های توپولوژیکی شبکه را تعیین کنیم. برای کشف خصوصیات شبکه‌های ایجادشده توسط این مدل‌ها، باید از روش‌های پویا مانند نظریه پیوستار و رویکرد معادله نرخ استفاده کنیم.

هر یک از این چارچوب‌های مدل‌سازی نقش مهمی در نظریه شبکه دارند. مدل اردوش-رینی به ما اجازه می‌دهد تا بررسی کنیم که آیا یک ویژگی خاص شبکه را می‌توان تنها با یک الگوی اتصال تصادفی توضیح داد. اگر علاقه ما به نقش محیط شبکه در برخی پدیده‌ها، مانند فرایندهای انتشار یا تاب‌آوری شبکه محدود شود، مدل‌های مولد نقطه شروع خوبی پیشنهاد می‌دهند. اما اگر بخواهیم منشأ یک خاصیت شبکه را درک کنیم، باید به مدل‌های تکاملی شبکه که فرآیندهای ایجاد شبکه را از ابتدا مدنظر قرار می‌دهند، متوسل شویم.

مدل مثال ویژگی

مدل ایستا اردوش-رنی
واتز-استروگاتز

N ثابت

p_k به صورت نمایی-محدود

وپولوژی ایستا، مستقل از زمان

مدل مولد مدل های پیکربندی و پارامتر پنهان

p_k دلخواه و از پیش تعریف شده *p_k*

توپولوژی ایستا، مستقل از زمان

مدل شبکه تکاملی مدل باراباشی-آلبرت
مدل بیانکونی-باراباشی
مدل های پیوندهای داخلی
حذف گره و لینک
رشد سریع و جذب اولیه
سن

*p_k* توسط فرآیندهای که در توسعه شبکه نقش دارند، تعیین می شود.

توپولوژی شبکه به زمان وابسته است

جدول ۶.۱
طبقه‌بندی مدل‌ها در علوم شبکه
این جدول سه چارچوب اصلی مدل‌سازی مورداستفاده در علم شبکه، همراه با ویژگی‌های متمایز آن‌ها را به‌طور خلاصه نشان می‌دهد

بخش 6.7
تمرینات

رشد شتابان
توان درجه مدل باراباشی-آلبرت دارای رشد شتابان را محاسبه کنید، با این فرض که درجه گره‌های تازه‌وارد در زمان به‌صورت *m(t) = t^Θ* افزایش می‌یابد.

مدل شبکه تکاملی تی پارتی
در این شبکه هر تازه‌واردی مجاز است تنها یک شرکت‌کننده دیگر را به رقص دعوت کند. در این شبکه جنسیت هیچ نقشی ایفا نمی‌کند. جذابیت تأثیرگذار است و شرکت‌کنندگان جذاب‌تر احتمال بیشتری دارند که توسط یک شرکت‌کننده جدید به رقص دعوت شوند. قوانین مهمانی عبارت است از:

هر شرکت‌کننده با یک گره i مربوط می‌شود و یک ضریب جذابیت مستقل از زمان *η_i* به آن‌ها اختصاص داده می‌شود.

در هر گام از زمان، یک گره جدید به مهمانی می‌پیوندد.

سپس این گره جدید یکی از گره‌های مهمانی را به رقص دعوت می‌کند و پیوند جدیدی با آن برقرار می‌کند.

گره جدید شریک رقص خود را با احتمال متناسب با جذابیت شریک بالقوه انتخاب می‌کند. اگر t گره در حال حاضر در مهمانی وجود داشته باشد ، احتمال اینکه گره i دعوت به رقص شود به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: $\Pi _i = \frac{{\eta _i }}{{\sum\nolimits_j {\eta _j } }} = \frac{{\eta _i }}{{t\left\langle \eta \right\rangle }}$

که ⟨η⟩ میانگین جذابیت است.

تکامل زمانی درجه گره‌ها را محاسبه کنید و بگویید که هر گره چند رقص داشته است.

توزیع درجه گره‌ها را با جذابیت η محاسبه کنید.

اگر نیمی از گره‌ها η=2 و نیمی دیگر η=1 داشته باشند ، توزیع درجه شبکه پس از مدت‌زمان به‌اندازه کافی طولانی چقدر می‌شود؟

مدل بیانکونی-باراباشی
مدل بیانکونی-باراباشی با دو ضریب سازگاری مجزا، η=a وη=1 را در نظر بگیرید. به‌طور خاص، فرض کنید که سازگاری از توزیع دلتا دوگانه پیروی می‌کند:
$\rho (\eta ) = \frac{1}{2}\delta (\eta - a) + \frac{1}{2}\delta (\eta - 1){\rm{ with }}0 \le a \le 1$
توان درجه و وابستگی آن به پارامتر a را محاسبه کنید.

توزیع درجه پایدار شبکه را محاسبه کنید.

سازگاری افزودنی
فرض کنید رشد شبکه توسط الحاق ترجیحی با سازگاری افزودنی
$\Pi (k_i ) \sim \eta _i + k_i$ کنترل می‌شود که در آن *η_i* های مختلف که از توزیع سازگاری ρ(η) انتخاب شده است به هر گره اختصاص داده می‌شود. توزیع درجه شبکه حاصل را محاسبه و درباره آن بحث کنید.

بخش 6.8
مباحث پیشرفته بخش A.۶

راه‌حل تحلیلی مدل بیانکونی-باراباشی

هدف از این بخش به دست آوردن توزیع درجه مدل بیانکونی-باراباشی است [2 ، 15 ، 16،17]. با محاسبه زیر روی تمام سازگاری‌های η شروع می‌کنیم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle$
ازآنجاکه هر گره در زمان متفاوت t₀ متولد می‌شود، می‌توانیم مجموع روی j را به‌صورت یک انتگرال روی t₀ بنویسیم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle = \int {d\eta \rho (\eta )\eta \int\limits_1^t {dt_0 k_\eta (t,t_0 )} } \hspace{20 mm} (6 . 34)$
با جایگزینی *k_η(t, t₀)* با رابطه (6.3) و انتگرال‌گیری روی t₀ ، به دست می‌آوریم:
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle = \int {d\eta \rho (\eta )\eta m\frac{{t - t^{\beta (\eta )} }}{{1 - \beta (\eta )}}} \hspace{20 mm} (6 . 35)$
توان پویا β(η) محدود است، یعنی 0 *<β(η)<1*، زیرا یک گره فقط می‌تواند درجه خود را با زمان (β(η)>0) افزایش دهد و*k_i(t)* نمی‌تواند سریع‌تر از t افزایش یابد *(β(η)<1*). بنابراین در حد t→∞ در رابطه (6.35) عبارت *t^β(n)* در مقایسه با t قابل‌چشم‌پوشی است.
$\left\langle {\sum\limits_j {\eta _j k_j } } \right\rangle \mathop = \limits^{t \to \infty } Cmt(1 - O(t^{ - \varepsilon } )) \hspace{20 mm} (6 . 36)$
که ε = (1 − max_ηβ(η)) > 0و
$C = \int {d\eta \rho (\eta )\frac{\eta }{{1 - \beta (\eta )}}} \hspace{20 mm} (6 . 37)$
با استفاده از رابطه (6.36) و نماد *k_η=k_η(t, t₀, η)* رابطه پویای (6.2) را به‌صورت زیر می‌نویسیم:
$\frac{{\partial k_\eta }}{{\partial t}} = \frac{{\eta k_\eta }}{{Ct}} \hspace{20 mm} (6 . 38)$
که یک راه‌حل به فرم رابطه (6.3) دارد، با توجه به:
$\beta (\eta ) = \frac{\eta }{C} \hspace{20 mm} (6 . 39)$
مهر تأییدی بر ماهیت خودسازگاری فرض (6.3) است.

برای تکمیل محاسبات باید مقدار C را از رابطه (6.37) به دست آوریم. پس از جایگزینی β(η) با η⁄C ، به دست می‌آوریم:
$1 = \int\limits_0^{\eta _{\max } } {d\eta \rho (\eta )\frac{1}{{\frac{C}{\eta } - 1}}} \hspace{20 mm} (6 . 40)$
که *η_max* حداکثر سازگاری ممکن در سیستم است. انتگرال (6.40) یگانه است. بااین‌حال، ازآنجاکه برای هر η،β(η)=η/C<1، خواهیم داشت C > *η_max* ، بنابراین حد ادغام سازی هرگز منحصربه‌فرد نمی‌شود. توجه داشته باشید ازآنجایی‌که
$Cmt = \sum\limits_j {\eta _j k_j \le \eta _{\max } \sum\limits_j {k_j = 2mt\eta _{\max } } } \hspace{20 mm} (6 . 41)$
خواهیم داشت: C ≤ 2η_max

اگر یک توان پویای منحصربه‌فرد β وجود داشته باشد ، توزیع درجه از قانون توان *p_k* ~ *k^−γ* با توان درجه γ=1/β+1پیروی می‌کند. در مدل بیانکونی-باراباشی، ما طیفی از توان‌های پویا β(η) را داریم، بنابراین *p_k* جمع وزنی روی قوانین توان مختلف است.

برای تعیین توزیع درجه در حد بزرگ N، ابتدا تعداد گره‌ها با سازگاری η و با درجه بیشتر از k، یعنی آن‌هایی که شرط *k_η(t)* > k دارند را محاسبه می‌کنیم. با استفاده از رابطه (6.3) متوجه می‌شویم که این شرط دلالت دارد بر:
$t_0 < t\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \hspace{20 mm} (6 . 42)$
دقیقاً در هر مرحله یک گره اضافه می‌شود و هر گره با احتمال ρ(η)dη دارای سازگاری η است. بنابراین به تعداد*t(m/k)^C/ηρ(η)dη* گره شرط رابطه (۶.۴۲) را برآورده می‌کنند. برای به دست آوردن تابع توزیع تجمعی (احتمال اینکه یک گره تصادفی i دارای درجه کوچک‌تر یا برابر k باشد) ، می‌نویسیم:
$P(k) = P(k_i \le k) = 1 - P(k_i > k) \approx 1 - \frac{{\int_0^{\eta _{\max } } {t\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \rho (\eta )d\eta } }}{{m_0 + t}} \approx 1 - \int_0^{\eta _{\max } } {\left( {\frac{m}{k}} \right)^{C/\eta } \rho (\eta )d\eta } \hspace{20 mm} (6 . 43)$
که آخرین معادله برای t های بزرگ معتبر است. تابع چگالی احتمال برای توزیع درجه به‌صورت زیر است (شکل جدید رابطه (6.6)).:
$p(k) = P'(k) = \int_0^{\eta _{\max } } {\frac{C}{\eta }m^{C/\eta } k^{ - (C/\eta + 1)} \rho (\eta )d\eta } \hspace{20 mm} (6 . 44)$
بخش ۶.۹

منابع

A.L. Barabási. [1]Linked: The New Science of Networks. Perseus, Boston, 2001.

[2] G. Bianconi and A.-L. Barabási. Competition and multiscaling in evolving networks. Europhysics Letters, 54: 436-442, 2001.

[3] A.-L. Barabási, R. Albert, H. Jeong, and G. Bianconi. Power-law distribution of the world wide web. Science, 287: 2115, 2000.

P.L. Krapivsky and S. Redner. [4]Statistics of changes in lead node in connectivity-driven networks. Phys. Rev. Lett., 89:258703, 2002.
C. [5] Godreche and J. M. Luck. On leaders and condensates in a growing network. J. Stat. Mech., P07031, 2010.
J. H. [6] Fowler, C. T. Dawes, and N. A. Christakis. Model of Genetic Variation in Human Social Networks. PNAS, 106: 1720-1724, 2009.
M. O. [7]Jackson. Genetic influences on social network characteristics. PNAS, 106:1687–1688, 2009.
S.A. Burt. [8]Genes and popularity: Evidence of an evocative gene environment correlation. Psychol. Sci., 19:112–113, 2008.
J. S. Kong, N. [9]Sarshar, and V. P. Roychowdhury. Experience versus talent shapes the structure of the Web. PNAS, 105:13724-9, 2008.
A.-L. Barabási, C. [10]Song, and D. Wang. Handful of papers dominates citation. Nature, 491:40, 2012.
D. [11]Wang, C. Song, and A.-L. Barabási. Quantifying Long term scientific impact. Science, 342:127-131, 2013.

[12] M. Medo, G. Cimini, and S. Gualdi. Temporal effects in the growth of networks. Phys. Rev. Lett., 107:238701, 2011.

[13] C. Venter et al. The sequence of the human genome. Science, 291:1304-1351, 2001.

A.-L. Barabási and R. Albert. [14]Emergence of scaling in random networks. Science, 286:509-512, 1999.
G. [15]Bianconi and A.-L. Barabási. Bose-Einstein condensation in complex networks. Phys. Rev. Lett., 86: 5632–5635, 2001.
C. [16] Borgs, J. Chayes, C. Daskalakis, and S. Roch. First to market is not everything: analysis of preferential attachment with fitness. STOC’07, San Diego, California, 2007.
S. N. Dorogovtsev, J.F.F. [17]Mendes, and A.N. Samukhin. Structure of growing networks with preferential linking. Phys. Rev. Lett., 85: 4633, 2000.
C. [18]Godreche, H. Grandclaude, and J.M. Luck. Finite-time fluctuations in the degree statistics of growing networks. J. of Stat. Phys., 137:1117- 1146, 2009.
Y.-H. Eom and S. [19]Fortunato. Characterizing and Modeling Citation Dynamics. PLoS ONE, 6: e24926, 2011.
A.-L. Barabási, H. Jeong, Z. N [20] éda, E. Ravasz, A. Schubert, and T. Vicsek. Evolution of the social network of scientific collaborations. Physica A, 311: 590-614, 2002.
R. Albert, and A.-L. Barabási. Topology [21]of evolving networks: local events and universality. Phys. Rev. Lett., 85:5234-5237, 2000.

[22] G. Goshal, L. Chi, and A.-L Barabási. Uncovering the role of elementary processes in network evolution. Scientific Reports, 3:1-8, 2013.

[23] J.H. Schön, Ch. Kloc, R.C. Haddon, and B. Batlogg. A superconducting field-effect switch. Science, 288: 656–8. 2000.

D. Agin. Junk [24]Science: An Overdue Indictment of Government, Industry, and Faith Groups That Twist Science for Their Own Gain. Macmillan, New York, 2007.
S. Saavedra, F. [25]Reed-Tsochas, and B. Uzzi. Asymmetric disassembly and robustness in declining networks. PNAS, 105:16466–16471, 2008.
F. [26]Chung and L. Lu. Coupling on-line and off-line analyses for random power-law graphs. Int. Math., 1: 409-461, 2004.
C. [27]Cooper, A. Frieze, and J. Vera. Random deletion in a scalefree random graph process. Int. Math. 1, 463-483, 2004.
S. N. Dorogovtsev and J. [28]Mendes. Scaling behavior of developing and decaying networks. Europhys. Lett., 52: 33-39, 2000.
C. [29]Moore, G. Ghoshal, and M. E. J. Newman. Exact solutions for models of evolving networks with addition and deletion of nodes. Phys. Rev. E, 74: 036121, 2006.
H. [30]Bauke, C. Moore, J. Rouquier, and D. Sherrington. Topological phase transition in a network model with preferential attachment and node removal. The European Physical Journal B, 83: 519-524, 2011.
M. [31]Pascual and J. Dunne, (eds). Ecological Networks: Linking Structure to Dynamics in Food Webs. Oxford Univ Press, Oxford, 2005.

[32] R. Sole and J. Bascompte. Self-Organization in Complex Ecosystems. Princeton University Press, Princeton, 2006.

[33] U. T. Srinivasan, J. A. Dunne, J. Harte, and N. D. Martinez. Response of complex food webs to realistic extinction sequencesm. Ecology, 88:671– 682, 2007.

M. Faloutsos, P. Faloutsos, and C. Faloutsos. On [34]power-law relationships of the int ernet topology. ACM SIGCOMM Computer Communication Review, 29: 251-262, 1999.
A. Broder, R. Kumar, F. [35]Maghoul, P. Raghavan, S. Rajagopalan, R. Stata, and A. Tomkins. Graph structure in the web. Computer Networks, 33: 309-320, 2000.
J. Leskovec, J. [36]Kleinberg, and C. Faloutsos, Graph evolution: Densification and shrinking diameters. ACM TKDD07, ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data, 1:1, 2007.
H. Jeong, B. [37]Tombor, R. Albert, Z. N. Oltvai, and A.-L. Barabási. The large-scale organization of metabolic networks. Nature, 407: 651–655, 2000.
S. Dorogovtsev and J. [38]Mendes. Effect of the accelerating growth of communications networks on their structure. Phys. Rev. E, 63: 025101(R), 2001.
M. J. Gagen and J. S. [39]Mattick. Accelerating, hyperaccelerating, and decelerating networks. Phys. Rev. E, 72: 016123, 2005.
C. [40]Cooper and P. Prałat. Scale-free graphs of increasing degree. Random Structures & Algorithms, 38: 396–421, 2011.
N. Deo and A. [41]Cami. Preferential deletion in dynamic models of web-like networks. Inf. Proc. Lett., 102: 156-162, 2007.

[42] S.N. Dorogovtsev and J.F.F. Mendes. Evolution of networks with aging of sites. Phys. Rev. E, 62:1842, 2000.

[43] A.N. Amaral, A. Scala, M. Barthélémy, and H.E. Stanley. Classes of small-world networks. Proc. National Academy of Sciences USA, 97: 11149, 2000.

K. [44]Klemm and V. M. Eguiluz. Highly clustered scale free networks. Phys. Rev. E, 65: 036123, 2002.
X. Zhu, R. [45]Wang, and J.-Y. Zhu. The effect of aging on network structure. Phys. Rev. E, 68: 056121, 2003.

مدل	مثال	ویژگی
مدل ایستا	اردوش-رنی واتز-استروگاتز	N ثابت p_k به صورت نمایی-محدود وپولوژی ایستا، مستقل از زمان
مدل مولد	مدل های پیکربندی و پارامتر پنهان	p_k دلخواه و از پیش تعریف شده p_k توپولوژی ایستا، مستقل از زمان
مدل شبکه تکاملی	مدل باراباشی-آلبرت مدل بیانکونی-باراباشی مدل های پیوندهای داخلی حذف گره و لینک رشد سریع و جذب اولیه سن	p_k توسط فرآیندهای که در توسعه شبکه نقش دارند، تعیین می شود. توپولوژی شبکه به زمان وابسته است

بخش ۶.۱

بخش ۶.۲

مدل بیانکونی-باراباشی

پویایی درجه

توزیع درجه

سازگاری برابر

توزیع یکنواخت سازگاری

جمع‌بندی

بخش ۶.۳محاسبه سازگاری

سازگاری یک سند وب:

سازگاری در مقالات علمی

چگالش بوز-انیشتین

فاز بی مقیاس

چگالش بوز-انیشتین

شبکه‌های تکاملی

جذب اولیه

پیوندهای داخلی

حذف گره

رشد شتابان

پیر شدن

بخش 6.6 خلاصه

تنوع توپولوژیکی

تنوع مدل‌سازی

بخش 6.7 تمرینات

بخش 6.8 مباحث پیشرفته بخش A.۶

راه‌حل تحلیلی مدل بیانکونی-باراباشی

بخش ۶.۹

منابع

بخش ۶.۳
محاسبه سازگاری

بخش 6.6
خلاصه

بخش 6.7
تمرینات

بخش 6.8
مباحث پیشرفته بخش A.۶