بخش ۸.۱
مقدمه

خطا و خرابی می‌تواند تمام رشته‌های انسان را پنبه کند: خرابی یک قطعه از موتور خودرو، می‌تواند شما را به دردسر اندازد و مجبور شوید با تعمیرکار سیار تماس بگیرید. همچنین یک خطا در سخت‌افزار کامپیوتر می‌تواند به‌کلی کامپیوتر شما را بلااستفاده کند. بااین‌وجود، بسیاری از سیستم‌های طبیعی و اجتماعی این قابلیت را دارند که حتی باوجود خراب شدن تعدادی از اجزاء، کارکردهای اصلی خود را حفظ کنند. درواقع، درحالی‌که تعداد بی‌شماری خطای پروتئینی در سلول‌های ما رخ می‌دهد، اما ما اصلاً متوجه آن هم نمی‌شویم. به‌طور مشابه سازمان‌های بزرگ باوجود غیبت تعداد زیادی از کارمندان بازهم کار خود را به‌درستی پیش می‌برند. فهم منشأ این تاب‌آوری برای سیستم‌های بسیاری مهم است:

• تاب‌آوری سؤالی مهم در زیست‌شناسی و پزشکی است، که به فهم این مسئله کمک می‌کند، که چرا تنها بعضی از جهش‌ها باعث بروز بیماری می‌شوند.
• مسئله تاب‌آوری موردتوجه دانشمندان اجتماعی و اقتصاددانانی است، که روی ثبات جوامع انسانی و مؤسسات در مقابل حوادث و اختلالاتی چون قحطی، جنگ، و تغییراتی در روند اجتماع و اقتصاد پژوهش می‌کنند.
• تاب‌آوری، مسئله‌ای کلیدی برای بوم‌شناسان و دانشمندان محیط‌زیست است، که به دنبال پیش‌بینی تخریب محیط‌زیست در مقابل فعالیت‌های مخرب انسان¬ها هستند.
• مسئله تاب‌‌آوری هدف مهمی در مهندسی و طراحی سیستم‌های ارتباطی، خودرو یا هواپیما است، که بتوانند باوجود خرابی‌های گاه و بیگاه به کار خود ادامه دهند.

شبکه‌ها نقشی کلیدی در تاب‌آوری سیستم‌های زیست‌شناسی، اجتماعی و تکنولوژی بازی می‌کنند. درواقع، تاب‌آوری یک سلول در شبکه‌¬ی فرماندهی، ارسال علامت‌ها و متابولیک پشت آن نهفته است؛ تاب‌آوری و انعطاف‌پذیری جامعه را نمی‌توان جدا از شبکه اجتماعی، تخصصی، و ارتباطی درهم‌آمیخته پشت آن دانست؛ و بقای یک زیست¬بوم بدون تحلیل دقیق شبکه زنجیره غذایی که منجر به حفظ گونه‌های مختلف می‌شود، قابل‌درک نخواهد بود. ژرف‌اندیشی در موضوع تاب‌آوری در طبیعت همواره ما را به شبکه‌ها می‌رساند.

هدف این فصل فهمیدن نقش شبکه‌ها در تأمین تاب‌آوری سیستم¬های پیچیده است. نشان می‌دهیم که ساختار زیربنایی شبکه‌ها نقشی کلیدی در توانایی سیستم برای بقا در مقابل خرابی‌های تصادفی یا حمله‌های عمدی بازی می‌کند. به مطالعه در مورد نقش شبکه‌ها در پیدایش خرابی‌های زنجیره¬ای (آبشاری) خواهیم پرداخت. خرابی زنجیره¬ای، پدیده¬ای است که خرابی به‌صورت متناوب و زنجیره‌وار در یک سیستم‌ واقعی تکرار ‌شود. از همه مهمتر اینکه، نشان می‌دهیم قوانینی که تضمین کننده تاب‌آوری سیستم‌ها در مقابل خطا و حمله، و پیدایش خرابی‌های زنجیره¬ای است، عمومیت دارند. بنابراین کشف این قوانین به فهم تاب‌آوری طیف وسیعی از سیستم‌های پیچیده کمک می‌کند.

بخش ۸.۲
نظریه تراوش

حذف یک گره تنها تأثیر محدودی روی یکپارچگی شبکه دارد (شکل 3.8a). اما حذف چندین گره می‌تواند شبکه را به چندین مؤلفه مجزا تقسیم کند (شکل 3.8d). واضح است که هرچه تعداد گره‌های بیشتری حذف شوند، شانس ازکارافتادن شبکه بیشتر می‌شود. این امر این سؤال را مطرح می‌کند که چه تعداد گره را باید حذف کنیم، تا شبکه به تعدادی مؤلفه مجزا افراز شود؟ برای مثال، چه کسری از مسیریاب‌های اینترنت باید خراب شوند، تا شبکه اینترنت تبدیل به خوشه‌هایی مجزا از کامپیوترها شود که قادر به ارتباط با یکدیگر نیستند؟ برای پاسخ به این سؤالات باید ابتدا با مبانی ریاضی تاب‌آوری که با عنوان نظریه تراوش ارائه شده، آشنا شویم.

تراوش

نظریه تراوش، زیررشته‌ای از فیزیک آماری و ریاضیات است که بسیار موردتوجه قرار گرفته و توسعه یافته ‌است [۲،۳،۴،۵]. یک مسئله نوعی که با این نظریه حل می‌شود، در شکل 8.4a,b نشان داده شده‌ است. این شکل یک شبکه توری مربع شکل را نشان می‌دهد. در هر یک از تقاطع‌ها یک سنگریزه با احتمال p قرار می‌دهیم. سنگریزه‌های همسایه، متصل‌به‌هم در نظر گرفته می‌شوند و خوشه‌هایی با اندازه ۲ یا بیشتر را تشکیل می‌دهند. با در نظر گرفتن این‌که موقعیت هر سنگریزه به‌طور تصادفی تعیین می‌شود، این سؤالات مطرح می‌شود:

• اندازه مورد انتظار بزرگ‌ترین خوشه چیست؟
• • میانگین اندازه خوشه‌ها چیست؟

واضح است که هرچه مقدار p بیشتر باشد، خوشه‌ها بزرگ‌تر می‌شوند. یک پیش‌بینی کلیدی برای نظریه تراوش این است که اندازه خوشه به‌طور تدریجی با p تغییر نمی‌کند. به‌جای آن، برای طیف گسترده‌ای از مقادیر p، شبکه شامل تعداد زیادی خوشه کوچک می‌شود (شکل 8.4a ). اگر p به یک مقدار بحرانی p_c نزدیک شود، این خوشه‌های کوچک رشد کرده و با هم تلفیق می‌شوند که باعث پیدایش یک خوشه بزرگ در p_c می‌شود. این خوشه را خوشه تراوش‌کننده می‌نامیم، زیرا به آخر شبکه توری می‌رسد. به‌بیان‌دیگر، در p_c شاهد یک گذار فاز از تعداد زیادی خوشه کوچک به یک خوشه تراوش¬کننده هستیم که به تمام شبکه تراوش می‌کند (شکل 8.4b).

به‌منظور کمی¬سازی ماهیت این گذار فاز، روی سه کمیت تمرکز می‌کنیم:

• میانگین اندازه خوشه
  طبق نظریه تراوش میانگین اندازه تمام خوشه‌های متناهی از رابطه زیر محاسبه می‌شود: $\left\langle s \right\rangle \sim |p - p_c |^{ - \gamma _p } \hspace{20 mm} (8 . 1)$ به‌بیان‌دیگر، هرچه به p_c نزدیک شویم، میانگین اندازه خوشه واگرا می‌شود. (شکل 8.4c).
• پارامتر ترتیب: P_∞
  احتمال P_∞ که یک سنگریزه که به‌طور تصادفی انتخاب شده، متعلق به بزرگ‌ترین خوشه باشد، عبارت است از: $p_\infty \sim (p - p_c )^{\beta _p } \hspace{20 mm} (8 . 2)$ بنابراین، هرچه p به سمت p_c کاهش پیدا کند، احتمال اینکه یک سنگریزه متعلق به بزرگ‌ترین خوشه باشد، به صفر نزدیک می‌شود. (شکل ۸.۴d)
• طول همبستگی ξ
  میانگین فاصله بین دو سنگریزه که متعلق به یک خوشه هستند، عبارت است از: $\xi \sim |p - p_c |^{ - \nu } \hspace{20 mm} (8 . 3)$ بنابراین برای p < p_c ، متوسط فاصله بین سنگریزه‌ها در یک خوشه متناهی است، درحالی‌که در p_c این فاصله واگرا می‌شود. این بدین معنی است که در p_c اندازه بزرگ‌ترین خوشه نامتناهی می‌شود، و این امر باعث می‌شود که بزرگ‌ترین خوشه در کل شبکه توری مربعی تراوش کند.

توان‌های ϒ_p، β_p و v را توان‌های بحرانی می‌نامند، چراکه رفتار سیستم را در نزدیکی نقطه بحرانی p_c مشخص می‌کنند. نظریه تراوش پیش‌بینی می‌کند که این توان‌ها عمومیت دارند، بدین معنی که مستقل از طبیعت شبکه و مقدار دقیق p_c هستند. بنابراین فرقی ندارد که سنگریزه‌ها را داخل شبکه توری مثلثی یا شش‌ضلعی قرار دهیم، در هر حالت رفتار < s >، P_∞و ξ توسط ϒ_p، β_pو v یکسان مشخص می‌شود.

برای درک بهتر عمومیت این مسئله، مثال‌های زیر را در نظر بگیرید:

• مقدار p_cبه نوع شبکه توری بستگی دارد، بنابراین p_c عمومیت ندارد. برای مثال، برای یک شبکه توری دو-بعدی مربعی (شکل ۸.۴) داریم p_c ≈ 0.593، درحالی‌که برای یک شبکه توری دو-بعدی مثلثی pc=1/2 (تراوش مکانی)
• مقدار p_c همچنین با بعد شبکه نیز تغییر می¬کند: برای یک شبکه توری مربعی p_c ≈ 0.593(v=2) ،برای یک شبکه توری مکعب ساده (d = 3) p_c≈0.3116. بنابراین در حالت سه‌بعدی کافی است کسر کوچک‌تری از گره‌ها را با سنگریزه‌ها پوشش دهیم، تا به گذار تراوش برسیم.
• برخلاف p_c توان‌های بحرانی به نوع شبکه توری وابسته نیستند، بلکه تنها به بعد شبکه بستگی دارند. در نمونه دو-بعدی که در شکل ۸.۴ نشان داده شده است، برای هر شبکه داریم: ϒ_p=43/18، β_p=5/36، و v=4/3. در حالت سه‌بعدی داریم: γ_p =1.80، β_p=0.41 و v=0.88. برای هر تعداد بعد d >6 داریم: γ_p=1، β_p=1، و v=1/2، بنابراین برای d بزرگ، توان‌ها از مقدار d نیز مستقل خواهند بود [۲].

گذار تراوش معکوس و تاب‌آوری

تاب‌آوری به مطالعه اثر خرابی گره‌ها بر یکپارچگی شبکه می‌پردازد. می‌توانیم می‌توان از نظریه تراوش برای توضیح روند تاب¬آوری با از دست دادن گره¬های شبکه استفاده کرد:

یک شبکه توری مربعی را به‌عنوان شبکه‌ای در نظر بگیرید که گره‌هایش همان تقاطع‌های خطوط هستند (شکل ۸.۵ ). به‌طور تصادفی کسر f از گره‌ها را حذف می‌کنیم تا ببینیم حذف این گره‌ها چه تأثیری روی یکپارچگی شبکه می‌گذارد.

اگر f کوچک باشد، گره‌های ازدست‌رفته خرابی کمی روی شبکه ایجاد می‌کنند. اما افزایش f باعث جدا شدن تعداد زیادی از گره‌ها از بزرگ‌ترین مؤلفه‌ شبکه می‌شود. درنهایت، برای مقدار f به‌اندازه کافی بزرگ، بزرگ‌ترین مؤلفه به تعدادی مؤلفه کوچک غیرهمبند می‌شکند (شکل ۸.۵).

این روند تکه‌تکه شدن به‌صورت تدریجی انجام نمی‌شود، بلکه با یک آستانه بحرانی f_c مشخص می‌شود: برای هر f<f_c ما هنوز یک مؤلفه بزرگ داریم. زمانی که f به f_c برسد، مؤلفه بزرگ ناپدید می‌شود. این پدیده با استفاده از نمودار P_∞ برحسب f نشان داده شده است، که احتمال اینکه یک گره بخشی از مؤلفه بزرگ باشد را بیان می‌کند (شکل ۸.۵): برای مقادیر کمتر از f_c مقدار P_∞ غیر صفر است، اما هنگامی‌که به f_c میل می‌کند، این مقدار صفر می‌شود. توان بحرانی γ_p، β_p، و v که مشخص‌کننده این درهم‌شکستن است مشابه همان مقادیری هستند که در (۸.۱)-(۸.۳) با آن‌ها مواجه شدیم. درواقع، با انتخاب f = 1-p می‌توان دو فرآیند تاب‌آوری و تراوش را به یکدیگر نگاشت کرد.

اگر شبکه موردنظر یک شبکه منظم مثل شبکه توری مربعی نباشد چه اتفاقی می‌افتد؟ همان‌طور که در بخش بعدی خواهیم دید، پاسخ به این سؤال به توپولوژی دقیق شبکه بستگی دارد. اما در شبکه‌های تصادفی با استفاده از نظریه تراوش به این سؤال پاسخ داده می‌شود: شبکه‌های تصادفی تحت خرابی تصادفی گره‌ها توان‌های مشابهی به‌عنوان تراوش با ابعاد نامحدود دارند. بنابراین توان‌های بحرانی برای یک شبکه تصادفی عبارت‌اند از: ϒ_p=1، β_p=1، و v=1/2 که متناظر با توان‌های تراوش برای d>6 است، که پیش¬تر با آن مواجه شدیم. توان‌های بحرانی برای یک شبکه بی-مقیاس‌ در بخش مباحث پیشرفته 8.A ارائه شده ‌است.

به‌طور خلاصه، درهم‌شکستن یک شبکه در اثر حذف گره‌ها یک فرآیند تدریجی نیست. بلکه حذف کسر کوچکی از گره‌ها تأثیر محدودی روی یکپارچگی شبکه دارد. اما وقتی این کسر گره‌های حذف‌شده به یک آستانه بحرانی برسد، شبکه ناگهان به مؤلفه‌های جدا از هم شکسته می‌شود. به‌بیان‌دیگر، خرابی تصادفی گره‌ها باعث یک گذار فاز از یک شبکه همبند به یک شبکه تکه‌تکه شده (افراز شده) می‌شود. می‌توانیم از ابزارهای نظریه تراوش برای مشخص کردن این گذار در هر دو نوع شبکه‌های منظم و تصادفی استفاده کنیم. اما همان‌طور که در بخش بعد توضیح خواهیم داد، اجزای توصیف این پدیده برای شبکه‌های بی¬مقیاس‌ تغییر می‌کند.

بخش ۸.۳
تاب‌آوری شبکه‌های بی مقیاس

نظریه تراوش عمدتاً روی شبکه‌های توری منظم که همه گره‌ها درجه یکسان دارند، و یا شبکه‌های تصادفی که درجه گره‌ها به هم نزدیک است، تمرکز می‌کند. اما اگر شبکه بی‌مقیاس داشته باشیم چه خواهد ‌شد؟ هاب‌ها چگونه روی گذار تراوش تأثیر می‌گذارند؟

برای پاسخ به این سؤال اجازه بدهید ابتدا از نقشه سطح مسیریاب های اینترنت شروع کرده، و گره‌ها را یکی‌یکی به‌طور تصادفی انتخاب کرده و حذف کنیم. طبق نظریه تراوش، هنگامی‌که تعداد گره‌های حذف‌شده به یک مقدار بحرانی f_c برسد، شبکه اینترنت باید به تعداد زیادی زیرگراف شکسته شود (شکل 8.5). اما شبیه‌سازی‌ها چیز متفاوتی را نشان می‌دهند: شبکه اینترنت حتی باوجود خرابی تعداد زیادی از گره‌ها در برابر افراز (تکه‌تکه شدن) مقاومت می‌کند. به‌جای آن اندازه بزرگ‌ترین مؤلفه به‌تدریج کاهش یافته و تنها در نزدیکی f=1 ناپدید می‌شود (شکل ۸.۷a). این بدین معنی است که شبکه اینترنت به طرز غیرمعمولی در برابر خراب شدن تصادفی گره‌ها تاب‌آوری نشان می‌دهد: برای خراب کردن بزرگ‌ترین مؤلفه آن، باید تمام گره‌هایش را حذف کنیم. این نتیجه‌گیری با تراوش روی شبکه‌های منظم که پیش‌بینی می‌کند شبکه با حذف کسر محدودی از گره‌ها از هم می‌پاشد، مغایر است.

رفتاری که در بالا مشاهده شد منحصر به اینترنت نیست. برای نشان دادن این امر، اندازه‌گیری بالا را برای یک شبکه بی‌مقیاس با توان درجه‌ γ = 5 تکرار کردیم و الگوی مشابهی مشاهده شد (شکل ۸.۷b): با حذف تصادفی گره، مؤلفه بزرگ در یک مقدار متناهی f_c از هم نمی‌پاشد، بلکه در محدوده نزدیک به f = 1 ناپدید می‌شود (ویدئو ۸.۱).

معیار Molloy-Reed

برای فهم منشأ اینکه مقدار f_c در شبکه‌های اینترنت و بی‌مقیاس به‌طور غیرعادی بزرگ است، مقدار f_c را برای یک شبکه با توزیع درجه دلخواه محاسبه می‌کنیم. بدین منظور، به یک مشاهده ساده اتکا می‌کنیم: برای اینکه یک شبکه دارای یک مؤلفه بزرگ باشد، باید بیشتر گره‌های متعلق به این مؤلفه به حداقل دو گره دیگر متصل باشند (شکل ۸.۸). این امر منجر به معیار Molloy-Reed می‌شود (مباحث پیشرفته ۸.ب) که بیان می‌کند یک شبکه متصل تصادفی دارای یک مؤلفه بزرگ است [۶] اگر

شبکه‌های با κ<2 فاقد مؤلفه بزرگ هستند و به تعداد زیادی مؤلفه غیر متصل تقسیم می‌شوند. معیار Molly-Reed (۸.۴) یکپارچگی شبکه را با استفاده از وجود یا عدم وجود مؤلفه بزرگ به < κ > و <κ₂> ارتباط می‌دهد. این معیار برای هر توزیع درجه p_k قابل‌قبول است.

برای نشان دادن قدرت پیش‌بینی رابطه (۸.۴)، اجازه دهید آن را روی یک شبکه تصادفی اعمال کنیم. در مورد چنین شبکه هایی داریم κ₂ = κ(1 + κ)، یک شبکه تصادفی دارای یک مؤلفه بزرگ است اگر:

یا

این پیش‌بینی همان شرط لازم (۳.۱۰) برای وجود مؤلفه بزرگ است.

آستانه بحرانی

برای درک مبانی ریاضی تاب‌آوری که در شکل ۸.۷ مشاهده شد، این سؤال را مطرح می کنیم که یک شبکه بی‌مقیاس در چه آستانه‌ای مؤلفه بزرگش را از دست می‌دهد. با اعمال معیار Molloly-Reed روی یک شبکه با توزیع درجه دلخواه، به این مطلب پی می‌بریم که آستانه بحرانی از راه زیر به دست می‌آید[۷] (مباحث پیشرفته ۸.ج):

متمایزترین پیش‌بینی رابطه (۸.۷) این است که آستانه بحرانی f_c تنها به < k > و < k₂> که کمیت‌هایی هستند که به‌طور یکتا با استفاده از توزیع درجه p_k تعیین می‌شوند، وابسته است.

اجازه دهید کاربرد رابطه (۸.۷) را با استفاده از محاسبه خرابی یک شبکه تصادفی نشان دهیم. با جایگزینی < k₂ > = < k > (< k > + 1) به رابطه زیر می‌رسیم (مباحث پیشرفته ۸.د):

بنابراین هرچه شبکه تصادفی متراکم‌تر باشد، مقدار f_c آن بیشتر می‌شود. به عبارتی برای فروپاشی شبکه باید گره‌های بیشتری حذف شود. به‌علاوه رابطه (۸.۸) پیش‌بینی می‌کند که مقدار f_c همیشه متناهی است. بنابراین یک شبکه تصادفی پس از حذف کسر متناهی از گره‌ها از هم می‌پاشد.

رابطه (۸.۷) کمک می‌کند که ریشه‌های تاب‌آوری بالا که در شکل ۸.۷ مشاهده‌شده را درک کنیم. درواقع، برای شبکه‌های بی‌مقیاس با γ<3 گشتاور دوم < K₂ > به سمت حد N → ∞ میل می‌کند. اگر در رابطه (۸.۷) قرار دهیم 2> → ∞ مقدار f_c به سمت f_c = 1 همگرا می‌شود. این بدین معنی است که برای تکه‌تکه کردن یک شبکه بی‌مقیاس باید تمام گره‌هایش را حذف کنیم. به‌بیان‌دیگر حذف تصادفی کسر محدودی از گره‌ها باعث فروپاشی یک شبکه بی‌مقیاس بزرگ نمی‌شود.

برای فهم بهتر این نتیجه < k > و < k² > را بر اساس پارامترهای مشخص‌کننده شبکه بی‌مقیاس یعنی توان درجه γ و درجه‌های کمینه و بیشینه k_min و k_max خواهیم نوشت، در این حالت داریم:

رابطه (۸.۹) همان چیزی را پیش‌بینی می‌کند که در شکل ۸.۹ دیدیم. (Image 8.9)

• برای γ>3، آستانه بحرانی f_c تنها به γ و k_min بستگی دارد، بنابراین f_c مستقل از اندازه شبکه N است. در این حالت یک شبکه بی‌مقیاس مانند یک شبکه تصادفی رفتار می‌کند: با حذف کسر متناهی از گره‌ها این شبکه از هم می‌پاشد.
• برای γ< 3 طبق رابطه (۴.۱۸) مقدار k_max برای N های بزرگ واگرا می‌شود. بنابراین در حد N→∞ رابطه (۸.۹) پیش‌بینی می‌کند که f_c →1. به‌بیان‌دیگر، برای تکه‌تکه کردن یک شبکه متناهی بی‌مقیاس باید تمام گره‌هایش را حذف کنیم.

روابط (۸.۶)-(۸.۹) نتایج کلیدی این فصل هستند، که پیش‌بینی می‌کنند که شبکه‌های بی¬مقیاس‌ می‌توانند هر سطحی از خرابی تصادفی را تحمل کنند، بدون اینکه متلاشی شوند. هاب‌ها مسئول این تاب‌آوری خاص هستند. درواقع، خرابی تصادفی گره‌ها طبق تعریف، مستقل از درجه است که درنتیجه گره‌های با درجه کوچک یا بزرگ با احتمال یکسان خراب می‌شوند. اما در شبکه‌های بی¬مقیاس‌ تعداد گره‌های با درجه کوچک خیلی بیشتر از تعداد هاب‌ها است. بنابراین، حذف تصادفی گره‌ها غالباً باعث حذف یکی از گره‌های با درجه کوچک می‌شود، چراکه احتمال انتخاب هاب‌ها در مقابل گره‌های با درجه کوچک قابل‌چشم‌پوشی است. این گره‌های کوچک سهم اندکی در پیوستگی شبکه دارند، بنابراین حذف آن‌ها خرابی کمی به بار می‌آورد.

اگر به مثال فرودگاه ها در شکل ۴.۶ بر‌گردیم، خواهیم دید که با انتخاب تصادفی یک فرودگاه و تعطیل کردن آن، به‌احتمال‌زیاد یکی از تعداد زیاد فرودگاه‌های کوچک انتخاب می‌شود. احتمالاً کسی در جهان از تعطیل شدن آن آگاه نمی‌شود و به‌احتمال‌زیاد همچنان می‌توان به پروازهایی از نیویورک به توکیو یا از لس‌آنجلس به ریودوژانیرو ادامه داد.

تاب‌آوری شبکه‌های متناهی

رابطه (۸.۹) پیش‌بینی می‌کند که برای یک شبکه بی‌مقیاس، مقدار f_c تنها در صورتی به یک همگرا می‌شود که k_max → ∞ که این عبارت متناظر است با حد N → ∞. بااینکه بسیاری از شبکه‌های واقعی بسیار بزرگ هستند، هنوز متناهی هستند، که این سؤال را ایجاد می‌کند که آیا این موضوع مشمول شبکه های متناهی هم می‌شود؟ برای پاسخ به این سؤال رابطه (۴.۱۸) را در رابطه (۸.۹) قرار می‌دهیم، و به این نتیجه می‌رسیم که fc به‌اندازه شبکه N بستگی دارد (مباحث پیشرفته 8.C).

که در آن C شامل تمام جملاتی می‌شود که به N بستگی ندارند. رابطه (۸.۱۰) نشان می‌دهد که هرچه شبکه بزرگ‌تر باشد، آستانه بحرانی آن، f_c، به یک نزدیک‌تر می‌شود.

برای اینکه ببینیم f_c چقدر می‌تواند به مقدار نظری f_c= 1 نزدیک شود، مقدار f_c را برای اینترنت محاسبه می‌کنیم. در نقشه اینترنت در سطح مسیریاب < k² >/< k > = 37.91 است (جدول ۴.۱). با واردکردن این نسبت در رابطه (۸.۷) به f_c = 0.972 می‌رسیم. بنابراین باید ۹۷٪ از مسیریاب‌ها را حذف کنیم تا شبکه‌ اینترنت را به مؤلفه‌های جدا از هم تبدیل کنیم. احتمال اینکه ۱۸۶،۸۶۱مسیریاب که ۹۷٪ کل مسیریاب‌ها N = 192,244 است، به‌طور تصادفی و هم‌زمان خراب شوند، صفر است. به همین دلیل است که توپولوژی شبکه اینترنت تاب‌آوری بالایی در برابر خرابی‌های تصادفی دارد.

به‌طورکلی شبکه تاب‌آوری بالایی از خود نشان می‌دهد اگر حد آستانه خرابی آن بیشتر از حد آستانه یک شبکه تصادفی باشد:

افزایش تاب‌آوری تبعات زیر را به همراه دارد:

• نامساوی (۸.۱۱) در بیشتر شبکه‌ها که در آن‌ها < k² > ازk>(< k > + 1) < فاصله می گیرد صدق می‌کند. طبق شکل 4.8 برای تمام شبکه‌های مرجع < k² > از مقدار تصادفی تخمین زده شده فراتر می رود. بنابراین تاب آوری که توسط رابطه (۸.۷) پیش‌بینی‌شده روی بیشتر شبکه‌های واقعی وجود دارد. این مسئله در جدول ۸.۱ نشان داده شده است. این جدول نشان می‌دهد که برای بسیاری از شبکه‌های مرجع رابطه (۸.۱۱) صدق می‌کند.
• رابطه (۸.۷) پیش‌بینی می‌کند که برای افزایش میزان تاب‌آوری، لازم نیست توزیع درجات شبکه دقیقاً از قانون توان پیروی کند. تمام چیزی که نیاز داریم این است که مقدار < k² > از مقدار مورد انتظار برای یک شبکه تصادفی هم‌اندازه، بزرگ‌تر باشد.
• ویژگی بی‌مقیاس بودن شبکه نه‌تنها مقدار f_c را تحت تأثیر قرار می‌دهد، بلکه روی توان‌های بحرانی γ_p ، β_pو v در مجاورت f_c نیز تأثیر می‌گذارد. وابستگی این پارامترها به توان درجه γ در مباحث پیشرفته بخش ۸.الف توضیح داده شده است.
• تاب‌آوری پیشرفته تنها محدود به حذف گره‌ها نمی‌شود، بلکه در حذف پیوندها نیز مشاهده می‌شود (شکل ۸.۱۰).

به‌طور خلاصه، ما در این بخش با یک ویژگی بنیادین از شبکه‌های واقعی یعنی تاب‌آوری آن‌ها در برابر خرابی تصادفی گره‌ها مواجه شدیم. رابطه (۸.۷) پیش‌بینی می‌کند که آستانه خرابی یک شبکه به < k > و < k² > بستگی دارد که هرکدام به‌طور یکتا توسط توزیع درجات تعیین می‌شوند. بنابراین، شبکه‌های تصادفی یک حد آستانه متناهی دارند، اما برای شبکه‌های بی‌مقیاس با γ<3 آستانه خرابی به یک میل می‌کند. به‌بیان‌دیگر، برای متلاشی کردن یک شبکه بی¬مقیاس باید تقریباً تمام گره‌هایش را حذف کنیم که این مسئله نشان می‌دهد که این شبکه‌ها تاب‌آوری بسیار زیادی در مقابل خرابی‌های تصادفی نشان می‌دهند.

منشأ این تاب‌آوری بالا، مقدار بالای < k² > است. با توجه به این‌که برای بیشتر شبکه‌های واقعی مقدار < k² > بزرگ‌تر از مقدار تصادفی مورد انتظار است، تاب‌آوری بالا در آن‌ها متداول است. این تاب‌آوری از این واقعیت سرچشمه گرفته که خرابی تصادفی بیشتر روی تعداد بسیار زیادی گره کوچک تأثیر می‌گذارد که نقش محدودی در حفظ یکپارچگی کل شبکه بازی می‌کنند.

بخش ۸.۴
تحمل حمله

نقش مهمی که هاب‌ها در حفظ یکپارچگی شبکه های بی‌مقیاس بازی می‌کنند، سؤال بعدی ما را برمی‌انگیزد: اگر به‌جای حذف تصادفی گره‌ها، هاب‌ها را حذف کنیم، چه می‌شود؟ یعنی، اول گره‌ با بیشترین درجه را حذف کنیم، سپس به ترتیب، گره‌هایی که بالاترین درجه را دارند حذف کنیم. احتمال اینکه گره‌ها دقیقاً به همین ترتیب خراب شوند، در شرایط عادی صفر است. درواقع این شرایط نشان‌دهنده یک حمله عمدی و حساب‌شده روی شبکه است، چراکه با آگاهی از اطلاعات جزئی توپولوژی شبکه انجام می‌شود و می‌تواند هاب‌ها را هدف قرار دهد تا عمداً شبکه را فلج کند [۱].

حذف یک هاب با احتمال کمی کل شبکه را فلج می‌کند، چراکه هاب‌های باقیمانده می‌توانند شبکه را متصل نگه دارند. اما پس از حذف تعداد کمی هاب، گره‌های بسیاری از شبکه جدا می‌شوند (ویدئو ۸.۲). اگر حمله ادامه یابد، می‌تواند به‌سرعت شبکه را به خوشه‌های کوچک بشکند.

تأثیر حذف هاب در شبکه‌های بی‌مقیاس کاملاً مشهود است (شکل ۸.۱۱). نقطه بحرانی که در خرابی‌های تصادفی وجود ندارد، در حمله پدیدار می‌شود. نه‌تنها پدیدار می‌شود، بلکه مقدار بسیار پایینی هم دارد. بنابراین حذف تعداد کمی هاب کافی است تا شبکه بی‌مقیاس به خوشه‌های کوچک تبدیل شود. هدف این بخش این است که آسیب‌پذیری تحت این حمله را به‌صورت کمی بیان کند.

آستانه بحرانی تحت حمله

یک حمله روی یک شبکه بی‌مقیاس دو نتیجه دارد (شکل ۸.۱۱):

• آستانه بحرانی f_c کوچک‌تر از f_c =1 است، که نشان می‌دهد یک شبکه بی‌مقیاس تحت حمله‌ها با حذف کسر کوچکی از هاب‌هایش تکه‌تکه می شود.
• f_c مشاهده‌شده بسیار کوچک است که نشان می‌دهد برای متلاشی کردن شبکه نیاز داریم تنها کسر کوچکی از هاب‌هایش را حذف کنیم.

برای کمی سازی این رویه نیاز داریم f_c را برای شبکه تحت حمله به‌طور تحلیلی حساب کنیم. بدین منظور به این مسئله اتکا می‌کنیم که حذف هاب‌ها به دو طریق شبکه را تغییر می‌دهد[9]:

• حذف هاب‌ها ماکزیمم درجه شبکه را از k_max به k'_max تغییر می‌دهد، چراکه تمام گره‌های با درجه بیشتر از k'_max حذف شده‌اند.
• توزیع درجات شبکه از p_k به p'_k' تغییر می‌کند، چراکه گره‌های متصل به هاب‌های حذف‌شده پیوندهایشان را از دست می‌دهند و این مسئله درجه گره های باقیمانده را تغییر می‌دهد.

با ترکیب این دو تغییر می‌توانیم مسئله حمله را به مسئله تاب‌آوری که در بخش قبل توضیح دادیم، نگاشت کنیم. به‌بیان‌دیگر، می‌توانیم یک حمله را به‌عنوان حذف تصادفی گره‌ها از شبکه با k'_max و p'_k' تنظیم‌شده نشان داد. محاسبات پیش‌بینی می‌کند که آستانه بحرانی f_c برای حمله‌های روی شبکه بی‌مقیاس، راه‌حل رابطه است [۹،۱۰] (مباحث پیشرفته.و)

شکل ۸.۱۲ راه‌حل عددی رابطه (۸.۱۲) را به شکل تابعی از توان درجه‌ای γ نشان می د‌هد که باعث می‌شود به نتایج زیر برسیم:

• در خرابی‌ f_c به‌طور یکنواخت با γ کاهش پیدا می‌کند، درحالی‌که در حمله‌ می‌تواند رفتار غیریکنواخت داشته باشد: برای γ کوچک افزایش و برای γ بزرگ کاهش می‌یابد.
• در حمله‌ همیشه f_c کوچک‌تر از خرابی‌ تصادفی است.
• برای γ بزرگ، یک شبکه بی‌مقیاس مانند یک شبکه تصادفی رفتار می‌کند. ازآنجایی‌که شبکه تصادفی فاقد هاب است، تأثیر حمله مانند تأثیر حذف تصادفی گره‌ها است. درنتیجه، برای γ بزرگ، آستانه‌های حمله و خرابی تصادفی به سمت همدیگر میل می‌کنند. درواقع اگر γ→ ∞ ، آنگاه p_k→δ(k-k_min)، بدین معنی که همه گره‌ها دارای درجه یکسان k_min هستند. بنابراین، خرابی‌ تصادفی و حمله هدفمند در حالت حدی γ→∞ غیرقابل تشخیص هستند. $f_c \to 1 - \frac{1}{{(k_{\min } - 1)}} \hspace{20 mm} (8 . 13)$
• همان‌طور که شکل شکل ۸.۱۳ نشان می‌دهد، یک شبکه تصادفی هم برای خرابی‌ تصادفی و هم حمله دارای یک آستانه تراوش محدود است، همان‌طور که در شکل ۸.۱۲ و رابطه (۸.۱۳) برای γ بزرگ پیش‌بینی‌شده ‌است.

برای درک بهتر آسیب پذیری شبکه‌های بی‌مقیاس در برابر حمله به مثال فرودگاه ها بازمی‌گردیم. بسته شدن دو فرودگاه بزرگ مانند فرودگاه شیکاگو اوهارو یا فرودگاه بین‌المللی آتلانتا تنها برای چند ساعت، جزء خبرهای داغ خواهد شد، چراکه تمام سفرهای آمریکا را تحت تأثیر قرار می‌دهد. چنانچه به هر دلیلی باعث شود به‌طور هم‌زمان فرودگاه‌های آتلانتا، شیکاگو، دنور، و نیویورک که از هاب¬های بزرگ به شمار می آیند، هم‌زمان تعطیل شوند، سفرهای هوایی در قاره آمریکای شمالی قفل خواهد شد.

به‌طور خلاصه خرابی تصادفی گره‌ها، شبکه بی‌مقیاس را افراز نمی‌کند، درحالی‌که حمله هدفمند به هاب‌ها به‌سادگی می‌تواند شبکه را مختل کند. این آسیب پذیری برای شبکه اینترنت خبر بدی است، چراکه نشان می‌دهد این شبکه ذاتاً در مقابل حمله ضعیف است، اما در پزشکی خبر خوبی است، چراکه ضعف باکتری‌ها در مقابل حذف هاب‌های پروتئینی راهی برای ساخت داروهایی برای از بین بردن باکتری‌های مضر ارائه می‌دهد.

بخش ۸.۵
خرابی‌های زنجیره ای

در طول این فصل ما فرض کردیم که خرابی هر گره یک رخداد تصادفی است، بنابراین گره‌های یک شبکه مستقل از یکدیگر خراب می‌شوند. در واقعیت، در یک شبکه، فعالیت هر گره به فعالیت گره‌های همسایه‌اش بستگی دارد. درنتیجه، خرابی یک گره می‌تواند منجر به خرابی گره‌های متصل به آن شود. به مثال های زیر توجه کنید:

• خاموشی‌ها (شبکه توزیع برق)
  پس از خرابی یک گره یا پیوند، جریان‌ الکتریکی فوراً به بخش‌های دیگر شبکه توزیع برق منتقل می‌شود. برای مثال، در ۱۰ آگوست سال ۱۹۹۶ که یک روز بسیار گرم در ایالت اورگن بود، یک خط حامل جریان ۱۳۰۰ مگاوات نزدیک یک درخت خم شد و جرقه زد. ازآنجایی‌که جریان برق نمی‌تواند یکجا ذخیره شود، جریان به‌طور خودکار به دو خط با ولتاژ پایین‌تر منتقل شد. ازآنجایی‌که این خطوط برای حمل جریان بیشتر طراحی نشده بودند، این دو خط هم خراب شدند. لحظاتی بعد، جریان اضافی باعث اشکال در عملکرد سیزده ژنراتور شد که نهایتاً باعث خاموشی در یازده ایالت آمریکا و دو استان کانادا شد [۱۲].
• حمله‌های عدم پذیرش سرویس (اینترنت)
  اگر یک مسیریاب نتواند بسته‌های دریافتی را ارسال کند، در پروتکل‌ اینترنت مسیریاب‌های مجاور آگاه می¬شوند و به‌گونه‌ای مسیریابی مجدد انجام می‌دهند که با استفاده از مسیریاب‌های دیگر، از نقطه‌ای که مشکل دارد اجتناب کنند. درنتیجه خرابی یک مسیریاب، ترافیک را در دیگر مسیریاب‌ها افزایش می‌دهد، که زمینه ایجاد مجموعه‌ای از حمله‌های عدم پذیرش سرویس را در اینترنت به وجود می‌آورد [۱۳].
• بحران‌های اقتصادی
  مشکلات زنجیره¬ای در سیستم‌های اقتصادی رایج هستند. برای مثال، کاهش قیمت خانه در سال ۲۰۰۸ در آمریکا در پیوندهای شبکه اقتصادی منتشر شد، و باعث مشکلات زنجیره‌ای در بانک‌ها، شرکت‌ها و حتی در سطح ملی شد [۱۴، ۱۵، ۱۶]. این پدیده درنهایت باعث ایجاد بدترین زیان اقتصادی جهانی از دهه ۱۹۳۰ شد.

درحالی‌که این مثال¬ها دامنه‌های متفاوتی را پوشش می‌دهند، ویژگی‌های مشترکی هم دارند. اولین ویژگی مشترک آن‌ها این است که خرابی اولیه تنها تأثیر محدودی روی ساختار شبکه دارد. دوم اینکه، خرابی اولیه به شکل محلی باقی نمانده و در طول پیوندهای شبکه منتشر شده است که باعث به وجود آمدن خرابی‌های دیگر شده است. درنهایت تعدادی از گره¬ها توانایی خود را برای ادامه کار از دست داده¬اند. درنتیجه هرکدام از این سیستم‌ها مشکلات زنجیره¬ای را تجربه کرده‌اند که پدیده خطرناکی در بیشتر شبکه‌ها به شمار می¬آید [۱۷]. در این بخش ما درمورد الگوهای تجربی که باعث ایجاد خرابی‌های زنجیره¬ای می‌شوند، بحث می‌کنیم. مدل کردن این رخدادها موضوع بخش بعدی است.

نتایج تجربی

خرابی‌های آبشاری در نمونه شبکه توزیع برق و سیستم‌های اطلاعاتی و tectonic motion به‌خوبی مستند شده‌ و آمار دقیق درباره تواتر و بزرگی آن‌ها در اختیار ما قرار می¬دهد.

• خاموشی‌ها
  

  یک خاموشی می‌تواند به دلیل خرابی ایستگاه تولید برق، خرابی خطوط انتقال برق، ایجاد مدار کوتاه، و دیگر رخدادها به وجود بیاید. وقتی بار عملیاتی یک مؤلفه از حدی فراتر رود، به‌منظور محافظت از آن مؤلفه به‌طور خودکار از مدار خارج می‌شود. در چنین وضعیتی، جریانی که قبلاً از آن بخش می‌گذشته باید به خطوط دیگر هدایت شود که باعث تغییر جریان، فرکانس، ولتاژ و فاز جریان و عملکرد سیستم‌های کنترل، پایش و هشدار می‌شود. این تغییرات می‌تواند مؤلفه‌های دیگر را هم از سیستم جدا کند و آغازگر یک خرابی عظیم شود.

  معیار اندازه‌گیری بزرگی یک خاموشی معمولاً مقدار انرژی¬ای است که تأمین نشده است. شکل ۸.۱۷aتوزیع احتمال p(s) انرژی تأمین نشده در خاموشی‌های آمریکای شمالی در بین سال‌های ۱۹۸۴ و ۱۹۹۸ را نشان می‌دهد. مهندسان برق توزیع به‌دست‌آمده را با قانون توان تقریب می‌زنند [۱۸]:

  $p(s) \sim s^{ - \alpha } \hspace{20 mm} (8 . 14)$

  توانa برای چند کشور در جدول ۸.۲ فهرست شده است. ماهیت قانون توان این توزیع نشان می‌دهد که بیشتر خاموشی‌ها کوچک هستند و تعداد کمی مصرف¬کننده را تحت تأثیر قرار می‌دهند. اما در کنار این خاموشی‌های کوچک، خاموشی‌های بزرگی نیز وجود دارد که میلیون‌ها مشترک را در خاموشی فرومی‌برد (شکل ۸.۱۶ ).

• آبشارهای اطلاعاتی
  

  سیستم‌های ارتباطی مدرن، از پست الکترونیکی و فیسبوک گرفته تا توییتر، انتشار آبشار مانند اطلاعات در طول پیوندهای شبکه اجتماعی را آسان می‌کنند. ازآنجایی‌که ردگیری نحوه نشر اطلاعات در بستر فضای مجازی آسان¬تر است، این بسترها به محققان اجازه می‌دهند تا رخدادهای آبشاری را مطالعه کنند.

  سرویس ریز-بلاگینگ توییتر به‌طور خاص در این زمینه مطالعه شده ‌است. در توییتر شبکه‌ی دنبال کننده‌های کاربران می‌تواند با پیمایش گراف دنبال کننده¬ها بازسازی شود. ازآنجایی‌که کاربران معمولاً محتویات وب را با استفاده از url های کوتاه شده به اشتراک می‌گذارند، می‌توان فرآیند انتشار/ اشتراک را دنبال کرد. یک مطالعه که ۷۴ میلیون از چنین رخدادهایی را در دو ماه دنبال کرده است، انتشار هر URL را از گره ابتدایی و در طول اشتراک‌گذاری‌ها در ارسال¬های مجدد تا انتهای دنباله انتشار ردگیری کرده است (شکل 8.18). همان‌طور که شکل ۸.۱۷b نشان می‌دهد، توزیع اندازه رخدادهای آبشاری مشاهده‌شده از قانون توان (۸.۱۴) با نمای α=1.75 [۱۹] پیروی می‌کند. توزیع قانون توان نشان می‌دهد که طیف گسترده‌ای از مطالب(URL های) ارسال‌شده اصلاً انتشار نیافته‌اند، نتیجه‌ای که از این واقعیت سرچشمه می¬گیرد که میانگین اندازه رخدادهای آبشاری تنها < s > = 1.14 بوده است. بااین‌حال، کسر کوچکی از مطالب ارسالی هزاران بار به اشتراک گذاشته شده‌اند.

• زمین‌لرزه‌ها
  گسل‌های زمین‌شناسی بی‌قاعده و لغزنده هستند که باعث می‌شود بتوانند به‌آرامی در کنار همدیگر بلغزند. هنگامی‌که یک گسل قفل شود، حرکت مداوم صفحه‌های زمین¬ساختی (تکتونیک) مرتبط، مقدار فزاینده‌ای از انرژی را در اطراف سطح گسل تجمیع می‌کند. وقتی فشار به‌اندازه کافی برسد، یک حرکت ناگهانی انرژی ذخیره‌شده را آزاد می‌کند که باعث زمین‌لرزه می‌شود. زمین‌لرزه‌ها همچنین می‌توانند ناشی از حرکت طبیعی گسل‌ها توسط فعالیت‌های آتش‌فشانی، رانش زمین، انفجار معدن و حتی آزمایش‌های اتمی باشند.

هرساله حدود ۵۰۰،۰۰۰ زمین‌لرزه با ابزار دقیق تشخیص داده می‌شود. تنها حدود ۱۰۰،۰۰۰ تا از آن‌ها آن‌قدر قوی هستند که توسط انسان‌ها احساس شوند. زلزله شناسان توزیع دامنه‌های زلزله را با قانون توان (۸.۱۴) با α≈1.67 (شکل ۸.۱۷c) تخمین می‌زنند [۲۰].

زمین‌لرزه‌ها به دلیل دشواری نگاشت دقیق پدیده‌هایی به وجود آورنده لرزه به گره‌های شبکه به‌ندرت به‌عنوان یک پدیده شبکه‌ای در نظر گرفته می‌شوند. بااین‌حال رخدادهای زنجیره¬ای ناشی از زلزله‌ها با رخدادهای آبشاری شبکه‌ها اشتراکات زیادی دارند

توزیع قانون توان که از خاموشی‌ها، آبشار نشر اطلاعات و زلزله به‌دست‌آمده، نشان می‌دهد که بیشتر خرابی‌های زنجیره¬ای کوچک هستند. این مشکلات زنجیره¬ای کوچک باعث قطع برق در تعداد اندکی خانه، توییت‌هایی که چندان موردتوجه کاربران قرار نمی‌گیرند و یا زلزله‌های بسیار کوچکی که افراد بدون ابزارهای دقیق نمی‌توانند آن‌ها را احساس کنند، می‌شوند. رابطه (۸.۱۴) نشان می‌دهد که تعداد بسیار زیادی از این رخدادهای کوچک در کنار تعداد کمی رخداد بسیار بزرگ وجود دارد. مثال‌هایی از چنین رخدادهای زنجیره‌ای بزرگ عبارت است از خاموشی آمریکای شمالی در سال ۲۰۰۳ (شکل 8.16)، توئیت بحران انتخاباتی ایران: ۱۰ ویدئوی باورنکردنی یوتیوب http://bit.ly/vPDLo که ۱۳۹۹ بار به اشتراک گذاشته شد[۲1]، یا زمین¬لرزه جزیره هائیتی در سال ۲۰۱۰ با بیش از ۲۰۰،۰۰۰ قربانی. نکته جالب این است که توان‌های گزارش‌شده توسط مهندسان برق، محققان رسانه و زلزله شناسان به طرز عجیبی به هم نزدیک است و بین ۱.۶ تا ۲ هست (جدول 8.2).

رخدادهای آبشاری در حوزه‌های بسیار دیگری نیز مستند و گزارش شده‌اند:

• تبعات آب‌وهوای بد یا نقص فنی می‌تواند در کل زمان‌بندی یک شرکت هواپیمایی گسترش یابد و باعث تأخیر پروازهای متعدد و سردرگمی هزاران مسافر شود (نکته ۸.۳) [۲۲].
• منقرض شدن یک‌گونه می‌تواند روی کل شبکه غذایی اکوسیستم و همچنین انقراض گونه‌های زیادی تأثیر آبشاری بگذارد، که این امر باعث تغییر زیستگاه گونه‌های دیگر می‌شود [۲۳،۲۴،۲۵،۲۶].
• نقص در یکی از حلقه‌های زنجیره تأمین می‌تواند کل زنجیره عرضه محصول را مختل کند. برای مثال سیل ۲۰۱۱ در تایلند باعث قحطی قطعات خودرو و درنتیجه ایجاد اختلال در فعالیت بیش از ۱۰۰۰ کارخانه خودروساز در سراسر جهان شد. بنابراین خرابی‌ها علاوه بر ایجاد اختلال در فعالیت کارخانه¬های مناطق سیل‌زده، باعث اعلام خسارت‌ ۲۰ میلیون دلاری به شرکت¬های بیمه در سراسر جهان شد [۲۷].

به‌طور خلاصه، تأثیرات زنجیره¬ای در سیستم‌هایی با ماهیت‌های متفاوت مشاهده می‌شود. توزیع اندازه آن‌ها با توزیع قانون توان (۸.۱۴) تخمین زده می‌شود، که نشان‌دهنده این است که بیشتر موارد آن‌قدر کوچک هستند که موردتوجه واقع نمی‌شوند، اما تعداد کمی از آن‌ها بسیار بزرگ هستند و تأثیر فراگیر دارند. هدف بخش بعدی فهم منشأ این پدیده‌ها و ساختن مدل‌هایی است که بتوانند ویژگی‌های برجسته‌ این پدیده¬ها را بازتولید کنند.

بخش 8.6
مدل کردن خرابی‌های زنجیره‌ای

ظهور رخدادهای زنجیره‌ای به متغیرهای زیادی از ساختار شبکه‌ گرفته تا ماهیت فرایند انتشار و معیار خرابی هر مؤلفه بستگی دارد. نتایج تجربی نشان می‌دهد که باوجود پراکندگی بین این متغیرها توزیع اندازه فروریخت-های مشاهده‌شده شبیه هم و مستقل از مشخصات یک سیستم خاص است. هدف این بخش فهمیدن سازوکارهای مولد رخدادهای زنجیره‌ای و توضیح ماهیت توزیع قانون توان اندازه آن است

مدل‌های زیادی برای بررسی دینامیک رخدادهای زنجیره‌ای ارائه شده‌اند [۱۸،۲۹،۳۰،۳۱،۳۲،۳۳،۳۴،۳۵]. اگرچه هر یک از این مدل‌ها بیشتر با ذهنیت یک پدیده خاص طراحی شده¬اند، اما نشان می‌دهند که سیستم‌هایی که رخداد زنجیره‌ای تولید می‌کنند در سه اصل باهم اشتراک دارند :

1. سیستم با یک جریان در شبکه مشخص می‌شود، مانند جریان الکتریکی در شبکه توزیع برق یا جریان اطلاعات در شبکه ارتباطی
2. هر مؤلفه یک قانون خرابی دارد، که مشخص می‌کند چه زمانی در یک رخداد زنجیره‌ای شرکت می‌کند، خواه با خراب شدن (شبکه توزیع برق، زمین‌لرزه‌ها)، یا با انتخاب عبور بخشی از اطلاعات (توئیتر).
3. هر سیستم مکانیزمی برای توزیع دوباره ترافیک در گره‌های دیگر در زمان خرابی یا فعال شدن یک مؤلفه دارد.

در این بخش درباره دو مدل که مشخصات خرابی‌های زنجیره‌ای را در سطوح مختلف پیش‌بینی می¬کنند، بحث می‌کنیم.

مدل انتشار خرابی

مدل انتشار خرابی ابتدا برای مدل‌سازی انتشار نظرات و عقاید مطرح شد ]30[ و پس‌ازآن بارها برای خرابی‌های زنجیره‌ای نیز به کار گرفته شد. این مدل به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

یک شبکه را با توزیع درجات دلخواه در نظر بگیرید، که در آن هر گره دارای یک وضعیت است. وضعیت گره i می‌تواند در حالت ۰ (فعال یا سالم) یا ۱ (غیرفعال یا خراب) باشد و با آستانه خرابی ∅_i = ∅ برای همه i ها مشخص می‌شود.

همه گره¬ها در ابتدا در حالت ۰ هستند. در زمان t = 0 یک گره به حالت ۱ تغییر وضعیت می‌دهد که متناظر با خرابی مؤلفه یا ارسال اطلاعات خاص است. متعاقباً در هر مرحله زمانی، به‌طور تصادفی یک گره را انتخاب می‌کنیم و وضعیت آن را طبق قانون آستانه‌ای زیر به‌روز می‌کنیم

• اگر وضعیت گره انتخاب‌شده i در حالت ۰ باشد، حالت تمام k همسایه‌اش را بررسی می‌کنیم. i حالت ۱ را به خود می‌گیرد (خراب می‌شود)، اگر حداقل کسر f از همسایگانش در حالت ۱ باشند، در غیر این صورت در حالت ابتدایی ۰ می‌ماند.
• اگر نماینده انتخاب‌شده i در حالت ۱ باشد، حالتش را تغییر نمی‌دهد.

به‌بیان‌دیگر، یک گره سالم i حالتش را تغییر می‌دهد، اگر کسر Φ از همسایه‌هایش خراب شوند. بسته به توپولوژی محلی شبکه، ممکن است اختلال اولیه در رسیدن به گره‌های دیگر ناکام بماند و در همان ابتدا متوقف شود، یا اینکه فروریخت به خرابی تعدادی گره منجر شود، همان‌طور که در شکل ۸.۲۰a،b نشان داده شده است. شبیه‌سازی‌ها سه ناحیه را با مشخصات زنجیره‌ای متمایز، مشخص کرده‌اند (شکل ۸.۲۰c)

• ناحیه فرو بحرانی
  اگر < k > بزرگ باشد، با تغییر حالت یک گره، با احتمال کمی دیگر گره‌ها از حد آستانه فراتر می‌روند، چراکه گره‌های سالم تعداد زیادی همسایه سالم دارند. در این ناحیه، زنجیره به‌سرعت متوقف می‌شود و اندازه آن از توزیع نمایی پیروی می‌کند. بنابراین سیستم نمی‌تواند زنجیره‌های بزرگ سراسری ایجاد کند (نمادهای آبی، شکل ۸.۲۰c,d).
• ناحیه فرا بحرانی
  اگر < k > کوچک باشد، تغییر حالت یک گره می‌تواند تعدادی از همسایگانش را از آستانه رد کند، و باعث ایجاد یک زنجیره سراسری شود. در این ناحیه، اختلالات باعث ایجاد خرابی‌های بزرگ می‌شوند (نمادهای بنفش شکل ۸.۲۰c,d).
• ناحیه بحرانی
  در مرز بین ناحیه فرو بحرانی و فرا بحرانی، فروریخت¬ها اندازه کاملاً متفاوت و گسترده‌ای دارند. شبیه‌سازی‌های عددی نشان می‌دهند که در این ناحیه اگر شبکه زمینه تصادفی باشد، اندازه فروریخت¬های s از رابطه (۸.۱۴) (نمادهای سبز و نارنجی، شکل ۸.۲۱d) با α=3/2 پیروی می‌کند

مدل شاخه‌ای

به دلیل پیچیدگی مدل انتشار خرابی، پیش‌بینی تحلیلی رفتار فروریخت‌های زنجیره‌ای دشوار است. برای فهم ماهیت قانون توان p(s) و محاسبه نمای α ، به مدل شاخه‌ای روی می‌آوریم. این ساده‌ترین مدلی است که ویژگی‌های بنیادین یک رخداد زنجیره‌ای را ارائه می‌دهد.

مبنای این مدل این است که هر خرابی زنجیره‌ای از یک رویه انشعابی پیروی می‌کند. گره‌ای را که در ابتدا خرابی آن باعث ایجاد زنجیره می‌شود را ریشه درخت می¬نامیم. شاخه‌های درخت گره‌هایی هستند که به دلیل این خرابی اولیه دچار خرابی شده‌اند. برای مثال، در شکل ۸.۲۰a,b خرابی گره A یک زنجیره را شروع می‌کند، بنابراین A ریشه درخت است. خرابی گره A باعث خرابی B و E می‌شود که نشان‌دهنده دوشاخه درخت هستند. متعاقباً E باعث خرابی D و B باعث خرابی C می‌شود (شکل ۸.۲۱a)

مدل شاخه‌ای ویژگی‌های ضروری انتشار فروریخت را ارائه می‌دهد (شکل ۸.۲۱). مدل با یک گره فعال شروع می‌شود. در مرحله زمانی بعد هر گره فعال k فرزند تولید می‌کند، که k از توزیع p_kانتخاب می‌شود. اگر گره k=0 را انتخاب کند، آن شاخه نابود می‌شود (شکل ۸.۲۱b). اگر k>0 را انتخاب کند، تعداد k سایت فعال جدید خواهد داشت. اندازه یک فروریخت متناسب است با اندازه درخت وقتی تمام سایت‌های فعال نابود ‌شوند (شکل ۸.۲۱c).

مدل شاخه‌ای همان فازهایی که در مدل خرابی‌های زنجیره‌ای مشاهده شد را پیش‌بینی می‌کند. فازها تنها با < k > و درنتیجه با توزیع p_k مشخص می‌شوند:

• ناحیه فرو بحرانی: < k > < 1
  برای < k > < 1 به‌طور میانگین هر شاخه کمتر از یک فرزند دارد. درنتیجه، هر درخت به‌سرعت تمام می‌شود (شکل ۸.۲۱d). در این سازمان اندازه فروریخت از توزیع نمایی پیروی می‌کند.
• ناحیه فرا بحرانی < k >> 1
  برای < k > > 1 به‌طور میانگین هر شاخه بیش از یک فرزند دارد. بنابراین درخت به‌طور نامحدود به رشد کردن ادامه می‌دهد (شکل ۸.۲۱e). بنابراین در این ناحیه تمام فروریخت¬ها سراسری هستند.
• ناحیه بحرانی < k > = 1
  برای < k > = 1 هر شاخه به‌طور میانگین دقیقاً یک فرزند دارد. بنابراین برخی درخت‌ها بزرگ هستند، و بقیه به‌سرعت نابود می‌شوند (شکل ۸.۲۱e). شبیه‌سازی‌های عددی نشان می‌دهند که در این سازمان توزیع اندازه فروریخت¬ها از توزیع قانون توان (۸.۱۴) پیروی می‌کند

مدل شاخه‌ای می‌تواند به‌طور تحلیلی حل شود، و به ما این امکان را بدهد که برای یک p_k دلخواه اندازه فروریخت را تعیین کنیم. اگر p_k به نمایی محدود باشد، برای مثال اگر دنباله نمایی داشته باشد، محاسبات پیش‌بینی می‌کند که α= 3/2 خواهد بود. اما اگر p_k بی‌مقیاس باشد، نمای رخداد طبق (شکل ۸.۲۲) [۳۲،۳۳] بستگی به نمای g دارد.

همان‌گونه که در جدول ۸.۲ نشان داده شد، نمای فروریخت به‌صورت تجربی بین‌بین ۱.۵ و ۲ بود، که این رابطه هم همان نتیجه را تأیید می‌کند.

به‌طور خلاصه ما دو مدل دینامیک خرابی‌های زنجیره¬ای را بررسی کردیم: مدل انتشار خرابی، و مدل شاخه‌ای. در ادبیات موضوعی مدل‌های دیگری نیز وجود دارد، مانند مدل سرریز بار که برای خرابی‌های شبکه توزیع برق طراحی‌شده است [۱۸]، یا مدل توده شن که رفتار خرابی‌های زنجیره‌ای در ناحیه بحرانی را مدل می‌کند [۳۱،۳۲]. در برخی مدل‌ها برای گره‌ها و پیوندها ظرفیت‌های متفاوتی برای حمل ترافیک (بار) در نظر گرفته می‌شود [۳۴]. این مدل‌ها در ماهیت و تعداد و ماهیت پارامترها باهم تفاوت دارند. اما همه آن‌ها وجود یک ناحیه بحرانی را پیش‌بینی می‌کنند، که در آن اندازه فروریخت از قانون توان پیروی می‌کند. نمای فروریخت a به‌طور یکتا با نمای درجه شبکه‌ای که فروریخت روی آن منتشر شده، تعیین می‌شود. این واقعیت که همه مدل‌ها با دینامیک‌های انتشاری و مکانیزم‌های خرابی مختلف، مقیاس بندی واحد (قانون توان) و نمای فروریخت یکسان را پیش‌بینی می‌کنند، نشان می‌دهد که این پدیده سراسری و مستقل از مدل است.

بخش ۸.۷
ایجاد تاب‌آوری

آیا می‌توانیم تاب‌آوری شبکه را افزایش دهیم؟ در این بخش نشان می‌دهیم که بینشی که در باره عوامل تاثیرگذار روی تاب‌آوری به دست آورده‌ایم، به ما این اجازه را می‌دهد که شبکه‌ای را طراحی کنیم که بتواند در برابر خرابی‌های تصادفی و حمله‌های عمدی مقاوم باشد. همچنین بررسی می‌کنیم که چگونه می‌توان یک خرابی زنجیره‌ای را متوقف نمود و تاب‌آوری پویای سیستم را افزایش داد. درنهایت سعی خواهیم کرد تا با کمک تکنیک-های پیشرفته، رابطه بین تاب‌آوری و قابلیت اطمینان در شبکه توزیع برق را مطالعه کنیم.

طراحی مجدد شبکه های مقاوم

طراحی شبکه‌هایی که هم‌زمان در برابر حمله‌ها و خرابی‌های تصادفی تاب‌آور باشد، هدفی متضاد به نظر می‌آید [۳۶،۳۷،۳۸،۳۹]. برای مثال شبکه قطب و اقمار Image 8.23a در برابر خرابی‌های تصادفی مقاوم است، درحالی‌که تنها خراب شدن گره مرکزی می‌تواند شبکه را به مؤلفه‌های جدا از هم تجزیه کند. در این شبکه، احتمال این‌که یک خرابی تصادفی شبکه را تکه‌تکه کند، برابر است با 1/N که برای Nهای بزرگ قابل‌چشم‌پوشی است. اما این شبکه در برابر حمله ضعیف است، چراکه حذف یک گره، یعنی گره مرکزی، شبکه را به گره‌های منفرد تبدیل می‌کند.

می‌توانیم مقاومت شبکه در برابر حمله را با اتصال گره‌های پیرامونی افزایش دهیم (شکل ۸.۲۳b)، بدین ترتیب حذف هاب باعث تکه‌تکه شدن شبکه نمی‌شود. اما برای افزایش تاب‌آوری باید بهایی پرداخت: این امر نیازمند این است که تعداد پیوندها را دو برابر کنیم. اگر هزینه ساخت و نگهداری شبکه را متناسب با میانگین درجات < k > در نظر بگیریم، هزینه شبکه شکل ۸.۲۳b برابر با 24/7 یعنی دو برابر هزینه شبکه شکل ۸.۲۳a 12/7 است. هزینه افزوده‌شده این سؤال را ایجاد می‌کند: آیا می‌توانیم تاب‌آوری یک شبکه را در برابر خرابی تصادفی و حمله‌ها افزایش دهیم درحالی‌که هیچ تغییری در هزینه ایجاد نشود؟

تاب‌آوری یک شبکه در برابر خرابی‌ها با آستانه تراوش f_c قابل‌ارائه است، که عبارت است از کسری از گره‌ها که باید حذف کنیم تا شبکه متلاشی شود. برای افزایش تاب‌آوری شبکه باید f_c را افزایش دهیم. طبق (۸.۷) f_c تنها به < k > و < k²> بستگی دارد. درنتیجه، اگر بخواهیم هزینه < k > ثابت بماند، توزیع درجه‌ای که f_c را ماکزیمم می‌کند، باید را افزایش دهد. این امر با توزیع دوحالته متناظر با شبکه‌ای با تنها دو نوع گره‌ با درجه‌های k_minو k_max(شکل ۸.۲۳a,b) به دست می‌آید.

اگر بخواهیم توپولوژی شبکه را هم‌زمان در برابر خرابی تصادفی و حمله‌ها بهبود بخشیم، باید به دنبال توپولوژی‌هایی بگردیم که مجموع آن‌ها را ماکزیمم کند (شکل ۸.۲۴c).

ترکیبی از مباحث تحلیلی و شبیه‌سازی‌های عددی نشان می‌دهد که این دو امر با استفاده از توزیع درجه دوحالته به بهترین شکل به دست می‌آید [۳۶،۳۷،۳۸،۳۸]

که شبکه‌ای را توصیف می‌کند که در آن کسر r از گره‌ها درجه k_maxو کسر باقی‌مانده (1-r) درجه k_minدارند.

همان‌طور که در مباحث پیشرفته 8.G نشان می‌دهیم، بیشینه f_c^totدر r = 1/N به دست می‌آید، یعنی وقتی یک گره با درجه k_maxوجود دارد، و بقیه گره‌ها دارای درجه k_minهستند. در این مورد مقدار k_maxبه‌اندازه سیستم بستگی دارد:

به‌بیان‌دیگر، شبکه‌ای که در مقابل خرابی‌های تصادفی و حمله‌ها مقاوم است، دارای یک هاب با درجه (۸.۱۸)، است، و بقیه گره‌ها دارای درجه یکسان k_min بزرگ‌تر از 1 هستند و تشکیل یک قطعه به هم متصل می دهند. این توپولوژی قطب و اقمار به‌وضوح در برابر خرابی‌های تصادفی تاب‌آور است، چراکه شانس حذف هاب مرکزی برابر است با 1/N که برای Nهای بزرگ بسیار کوچک است.

شبکه به دست آمده ممکن است در برابر حمله‌ای که هاب شبکه را حذف می‌کند آسیب‌پذیر باشد، اما لزوماً این‌طور نیست. درواقع مؤلفه بزرگ شبکه توسط هاب مرکزی به همراه تعداد زیادی گره با درجه k_minمتصل نگه‌داشته شده است. بنابراین بااینکه حذف هاب با درجه k_maxباعث ایجاد خرابی یک‌باره می‌شود، گره‌های باقیمانده با درجه کم در برابر حذف‌های هدفمند تاب‌آور هستند (شکل ۸.۲۴c).

مطالعه موردی: تخمین تاب‌آوری

شبکه توزیع برق اروپا مجموعه‌ای از بیش از بیست شبکه توزیع برق ملی است که شامل بیش از ۳،۰۰۰ ژنراتور و ایستگاه (گره) و ۲۰۰،۰۰۰ کیلومتر خطوط انتقال است (شکل ۸.2۶ a-d). توزیع درجه شبکه را می‌توان به شکل زیر تخمین زد (شکل ۸.۲۶e) [۴۲،۴۳]

این رابطه نشان می‌دهد که توپولوژی این شبکه تنها با پارامتر < k > مشخص می‌شود. چنین توزیعی نشان‌دهنده این است که شبکه فاقد الحاق ترجیحی است.

با دانستن < k > برای هر شبکه توزیع برق، می‌توان آستانه بحرانی شبکه f_c^targرا برای حمله پیش‌بینی کرد. همان‌طور که شکل ۸.۲۶f نشان می‌دهد، برای شبکه‌های توزیع برق ملی با < k > > 1.5 f_c^targ پیش‌بینی‌شده و مشاهده‌شده (واقعی) خیلی خوب باهم تطبیق دارند (گروه ۱). اما برای شبکه‌های توزیع برق با < k < 1.5> (گروه ۲) f_c^targپیش‌بینی‌شده f_c^targ واقعی را کمتر از واقعیت تخمین زده است، به عبارتی این شبکه‌ها در برابر حمله نسبت به آنچه از توزیع درجه آن‌ها پیش‌بینی‌شده، تاب‌آورتر هستند. همان‌طور که بعداً نشان خواهیم داد، این تاب‌آوری افزوده با قابلیت اطمینان شبکه ملی متناسب است.

برای آزمودن رابطه بین تاب‌آوری و قابلیت اطمینان از چندین کمیت که برای هر قطع برق جمع‌آوری و گزارش شده‌اند استفاده می‌کنیم: (۱) انرژی تأمین نشده، (۲) کل قطع برق و (۳) میانگین زمان وقفه، که با واحد دقیقه در سال اندازه‌گیری می‌شود. اندازه‌گیری‌ها نشان می‌دهند که شبکه‌های گروه ۱ که برای آن‌ها مقدار واقعی و نظری f_c^targ یکی است، دوسوم اندازه کل شبکه را شامل می‌شوند و تقریباً به‌اندازه گروه ۲ انرژی حمل می‌کنند. اما گروه ۱ بیش از ۵ برابر میانگین زمان وقفه، بیش از ۲برابر قطع برق و حدود ۴ برابر انرژی تأمین نشده را در مقایسه با گروه ۲ داشته است [۴۲]. بنابراین، شبکه‌های توزیع در گروه ۱ بسیار شکننده‌تر از شبکه‌های توزیع گروه ۲ هستند. این نتیجه نشان می‌دهد که شبکه‌هایی که ازنظر توپولوژیکی تاب‌آورتر هستند، قابل‌اطمینان‌تر نیز هستند. این نتیجه، کمی متناقض به نظر می‌رسد: می‌توان از شبکه متراکم‌تر انتظار داشت که تاب‌آورتر هم باشد. اما در این مثال، شبکه توزیع برق خلوت‌تر تاب‌آوری بالاتری دارد.

به‌طور خلاصه، فهم بهتر توپولوژی شبکه برای بهبود تاب‌آوری سیستم‌های پیچیده ضروری است. برای افزایش تاب‌آوری شبکه هم می¬توان توپولوژی شبکه را به‌گونه‌ای طراحی کرد که هم‌زمان در برابر حمله و خرابی تصادفی تاب‌آور باشد و هم می¬توان با اقدامات مداخله-ای، گسترش خرابی‌های زنجیره¬ای را محدود ‌کرد

این نتایج نشان می‌دهند که می‌توانیم توپولوژی اینترنت یا شبکه توزیع برق را طوری باز¬طراحی کنیم که تاب‌آوری آن‌ها افزایش یابد [۴۴]. چنانچه فرصت چنین کاری فراهم باشد، می‌توان به تاب‌آوری بالاتری دست یافت. اما در عمل این شبکه‌های زیرساختی در طول دهه¬ها و با صرف هزینه‌های گزاف شکل گرفته‌اند (مطابق الگویی که در فصل¬های پیش به آن پرداختیم) و به نظر می¬رسد طراحی و ساخت دوباره آن‌ها غیرممکن باشد

بخش ۸.۸
خلاصه: پاشنه آشیل

افرادی که حادثه ۱۱ سپتامبر ۲۰۰۱ را شکل داد، اهداف خود را به‌طور تصادفی انتخاب نکردند: مرکز تجاری جهانی در نیویورک، پنتاگون، و کاخ سفید در واشنگتن هاب‌های اقتصادی، نظامی، و سیاسی آمریکا هستند [۴۵]. اما بااینکه تراژدی که آمریکایی‌ها در این حادثه تجربه کردند، بعد از جنگ ویتنام بی‌مانند بود، این حملات نتوانست شبکه را از هم بپاشد. اما بهانه‌ای برای شروع جنگ‌های جدیدی همچون جنگ‌ عراق و افغانستان ایجاد کرد. تأثیر این رخدادهای زنجیره‌ای بسیار بیشتر از حمله تروریستی ۱۱ سپتامبر بود. بااین‌حال تمام شبکه‌ها، از شبکه‌های اقتصادی گرفته تا نظامی و سیاسی به بقای خود ادامه دادند. بنابراین می‌توانیم حادثه ۱۱ سپتامبر را به‌عنوان نمونه¬ای از تاب‌آوری و انعطاف‌پذیری شبکه (نکته ۸.۵) ببینیم. ریشه‌های این تاب‌آوری در این فصل بررسی شد: شبکه‌‌های واقعی، ساختار سلسله مراتبی از هاب‌ها دارند و بیرون آوردن یکی از آن‌ها برای سرنگون کردن شبکه کافی نیست.

تاب‌آوری قابل‌توجه شبکه‌های واقعی برای بیشتر سیستم‌های پیچیده خبر خوبی است. درواقع، خطاهای بی‌شماری در سلول‌های ما وجود دارد، اما تاب‌آوری شبکه زیرساختی سلولی به سلول‌های ما اجازه می‌دهد تا به کار خود ادامه دهند. تاب‌آوری شبکه همچنین دلیل اینکه ما به‌ندرت متوجه خطای مسیریاب‌ها در شبکه اینترنت می‌شویم، و یا اینکه چرا ناپدید شدن یک‌گونه باعث ایجاد فاجعه زیست‌محیطی نمی‌شود، را توضیح می‌دهد.

اما این تاب‌آوری توپولوژیکی بهایی هم دارد: شکنندگی در برابر حمله‌ها. همان‌طور که در این فصل نشان دادیم، حذف هم‌زمان چند هاب باعث خرابی شبکه می‌شود. این ‌یک خبر بد برای اینترنت است، چراکه به خراب‌کارها اجازه می‌دهد تا استراتژی‌های طراحی کنند که به این سیستم ارتباطی حیاتی آسیب برسانند. این یک خبر بد برای سیستم‌های اقتصادی است، چراکه نشان می‌دهد حذف هاب می‌تواند کل اقتصاد را فلج کند (مانند بحران سال 2009). اما برای طراحی داروها خبر خوبی است، چراکه نقشه دقیق شبکه سلولی می‌تواند به ما در ساخت داروهایی برای نابودی باکتری‌های ناخواسته یا سلول‌های سرطانی کمک کند.

پیام این فصل ساده است: توپولوژی شبکه، تاب‌آوری، و شکنندگی از همدیگر جدا نیستند. بلکه هر سیستم پیچیده پاشنه آشیل خودش را دارد: شبکه پشت آن‌ها هم‌زمان در برابر خرابی‌های تصادفی مقاوم و در برابر حمله‌ها آسیب¬پذیر است.

هنگام مطالعه تاب‌آوری، نمی‌توان از این واقعیت چشم¬پوشی کرد که بیشتر سیستم‌های واقعی تعداد زیادی حلقه کنترل و بازخورد دارند که به آن‌ها در برابر خطاها و خرابی‌ها کمک می‌کند. پروتکل‌های مسیریابی اینترنت به‌گونه‌ای طراحی شده که بتوانند مشکلات را پشت سر بگذارد و ترافیک را از مسیریاب‌هایی که درست کار نمی‌کنند، دور می‌کند، سلول‌ها مکانیزم‌های زیادی دارند تا پروتئین‌های خراب و ژن‌هایی که بد عمل می‌کنند را خاموش کنند و کنار بگذارند. این فصل به یک نوآوری جدید در تاب‌آوری شبکه پرداخت: ساختار شبکه زیرساختی باعث افزایش تحمل خرابی سیستم می‌شود.

تاب‌آوری شبکه‌های بی‌مقیاس، این سؤال را ایجاد می¬کند که: آیا افزایش تاب‌آوری دلیل این است که بسیاری از شبکه‌های واقعی بی‌مقیاس هستند؟ شاید سیستم‌های واقعی از ساختار بی‌مقیاس پیروی می‌کنند تا تاب‌آوری خود را افزایش دهند. اگر این فرضیه درست باشد، باید چنانچه شبکه‌ای را با هدف بیشینه کردن تاب‌آوری طراحی کنیم، به شبکه بی‌مقیاس برسیم. در حالی که در بخش ۸.۷ دیدیم شبکه¬ای که بیشترین تاب‌آوری را دارد، دارای ساختار قطب و اقمار است. توزیع درجه این شبکه به‌جای توزیع قانون توان، توزیع دو حالته است. از این قضیه نتیجه می‌گیریم که تاب‌آوری نمی‌تواند دلیل اصلی ایجاد ساختار شبکه‌های واقعی (بی‌مقیاس) باشد. بلکه، شبکه‌ها به دلیل پیوست ترجیحی بی‌مقیاس هستند. اگرچه شبکه‌های بی‌مقیاس تاب‌آوری بالایی دارند، اما تاب‌آورترین شبکه‌هایی نیستند که می‌توان طراحی کرد.

بخش ۸.۹
تمرین

1. خرابی تصادفی: ورای شبکه‌های بی‌مقیاس

   آستانه بحرانی f_cرا برای شبکه‌هایی با مشخصات زیر محاسبه نمایید:

   1. شبکه قانون توان با برش نمایی
   2. توزیع لگاریتمی-نرمال
   3. توزیع دلتا (همه گره‌ها درجه یکسان دارند)

   فرض کنید شبکه‌ها غیر همبسته و نامتناهی هستند. برای شکل تابعی توزیع و گشتاور‌های اول و دوم متناظر به جدول ۴.۲ مراجعه کنید. درمکرد نتایج به‌دست‌آمده از تاب‌آوری شبکه‌ها بحث کنید.

2. آستانه بحرانی در شبکه‌های همبسته

   سه شبکه با ۱۰۴ گره تولید کنید که خنثی، همسان گزین و دگر گزین باشند و دارای توزیع قانون توان با g = 2.5 ‌باشند. برای تولید شبکه‌ها از الگوریتم زالوی-برونت و سکولو که در بخش ۷.۵ توضیح داده شد استفاده کنید. با کمک کامپیوتر، تاب‌آوری سه شبکه را در برابر خرابی‌های تصادفی مطالعه کنید و نسبت P_∞(f)/P_∞(0) را مقایسه کنید. کدام شبکه بیشترین تاب‌آوری را دارد؟ می‌توانید دلیلش را توضیح دهید؟

3. خرابی شبکه‌های واقعی

   تعداد گره¬هایی که باید حذف شوند تا شبکه‌های فهرست شده در جدول ۴.۱ تکه‌تکه شوند را تعیین نمایید. فرض کنید هر شبکه غیرهمبسته است.

4. توطئه در شبکه‌های اجتماعی

   در یک جامعه با الگوی برادر بزرگ ، پلیس می‌خواهد از استراتژی تفرقه و غلبه استفاده کند تا جامعه‌ را به گروه¬های ایزوله تجزیه کند. شما به‌عنوان یکی از مخالفین این تصمیم می‌خواهید نقشه پلیس را خراب کنید. شایعاتی وجود دارد مبنی بر این‌که پلیس می‌خواهد کسانی را که دوستان زیادی دارند و کسانی که دوستانشان همدیگر را می‌شناسند را بازداشت کند. مخالفان از شما می‌خواهند که تصمیم بگیرید از چه کسانی باید محافظت شود: کسانی که دایره دوستی آن‌ها بسیار متراکم است یا کسانی که دوستان زیادی دارند. برای تصمیم‌گیری شما دو نوع حمله را با حذف الف) گره‌هایی که بالاترین ضریب خوشه‌بندی را دارند و ب) گره‌هایی که بالاترین درجه را دارند، در شبکه شبیه¬سازی می‌کنید. اندازه مؤلفه بزرگ را به‌عنوان تابعی از کسر گره‌های حذف‌شده در شبکه‌های زیر مطالعه کنید:

   1. شبکه‌ای با N = 10⁴ گره که با مدل پیکربندی (بخش ۴.۸) و توزیع قانون توان با γ = 2.5 تولید شده‌اند.
   2. شبکه‌ای با N = 10⁴ گره که با مدل سلسله مراتبی که در شکل ۹.۱۶ و مباحث پیشرفته 9.B توضیح داده شده، تولید شده ‌است.

   کدام‌یک ازنظر توپولوژی حساس‌تر است: ضریب خوشه‌بندی یا درجه، به عبارتی کدام¬یک اگر محافظت شود، خرابی را بیشتر محدود می‌کند؟ آیا اگر بتوانیم تمام اطلاعات افراد را (ضریب خوشه‌بندی، درجه، و...) مخفی نگه‌داریم نتیجه بهتری به دست می¬آید؟ چرا؟

5. فروریخت¬ها در شبکه‌ها

   شبکه‌ای تصادفی با مدل اردوش-رینی G(N,p) و شبکه‌ای بی-مقیاس با مدل پیکربندی با N = 10³ گره و میانگین درجات < k > = 2 تولید کنید. فرض کنید که در هر گره سطلی قرار دارد که می‌تواند به تعداد درجه گره سنگریزه نگه ‌دارد. فرآیند زیر را شبیه‌سازی کنید:

   1. در هر مرحله زمانی یک سنگریزه را به یک گره i که به‌طور تصادفی انتخاب‌شده، اضافه کنید.
   2. اگر تعداد سنگریزه¬ها در گره i به‌اندازه ظرفیت سطل برسد یا از آن بزرگ‌تر شود، آن گره ناپایدار می‌شود و تمام سنگریزه¬های آن گره از داخل سطل به گره‌های همسایه سرریز می‌شوند.
   3. اگر این سرریز شدن باعث شود ظرفیت یکی از همسایه‌ها پر شود، آن گره هم به نوبه خود سنگریزه‌هایش را به همسایه‌ها سرریز می‌کند. این کار آن‌قدر تکرار می‌شود تا هیچ گره (سطلی) ناپایدار نباشد. این زنجیره سرریز شدن را فروریخت می‌نامیم. اندازه فروریخت s برابر است با تعداد گره‌هایی که درنتیجه یک آشفتگی(اضافه کردن یک سنگریزه) ناپایدار شده‌اند.

   مراحل (a) – (c) را 10⁴ بار انجام دهید. در هر مرحله زمانی فرض کنید کسر ^4-10 از سنگریزه‌ها در انتقال‌ها گم می‌شوند، بنابراین سطل‌های شبکه اشباع نمی‌شوند. توزیع فروریخت p(s) را بررسی کنید

بخش ۸.۱۰
مباحث پیشرفته 8.A
تراوش در شبکه بی‌مقیاس

برای فهمیدن اینکه چگونه همان‌طور که به آستانه (۸.۷) نزدیک می‌شویم، شبکه فرومی‌پاشد، نیاز داریم تا نماهای بحرانی β_p, γ_p و v را تعیین کنیم. محاسبات نشان می‌دهند که ویژگی بی‌مقیاس باعث تمایز مقادیر این ضرایب نسبت به ضرایب شبکه تصادفی می‌شود (بخش ۸.۲).

بیایید با احتمال P_∞ شروع کنیم، احتمال اینکه یک گره تصادفی انتخاب‌شده متعلق به مؤلفه بزرگ باشد. طبق رابطه 8.2 در نزدیکی p_c (یا f_cدر حالت حذف گره) قانون توان پیروی می‌کند. محاسبات پیش‌بینی می‌کنند که برای یک شبکه بی‌مقیاس نمای β_p وابسته به نمای γ است [۷،۴۸،۴۹،۵۰،۵۱].

بنابراین، درحالی‌که برای شبکه تصادفی (متناظر با γ>4) داریم β_p = 1، برای بیشتر شبکه‌های بی‌مقیاس واقعی β_p > 1 است. بنابراین در یک شبکه بی‌مقیاس نسبت به یک شبکه تصادفی، مؤلفه بزرگ در مجاورت نقطه بحرانی زودتر از هم می‌پاشد.

ضریب مشخص‌کننده میانگین اندازه مؤلفه در نزدیکی p_c از رابطه زیر پیروی می‌کند [۴۸]:

مقدار منفی برای γ_p در γ<3 ممکن است عجیب باشد. اما دقت کنید که برای γ<3 همیشه مؤلفه بزرگ وجود دارد. بنابراین در این ناحیه واگرایی (۸.۱) مشاهده نخواهد شد.

برای یک شبکه متصل تصادفی با توزیع درجه دلخواه، توزیع اندازه خوشه‌های متناهی از رابطه زیر پیروی می‌کند [۴۸،۵۰،۵۱]

در اینجا n_s تعداد خوشه‌ها با اندازه s را نشان می‌دهد، و s* اندازه خوشه‌های متقاطع. در نقطه بحرانی:

توان‌های بحرانی عبارت‌اند از:

یک‌بار دیگر مقادیر شبکه تصادفی τ=5/2 و σ=1/2 برای γ>4 به دست آمد.

به‌طور خلاصه ضرایب فروپاشی شبکه بی‌مقیاس به توان درجه‌ای γ بستگی دارد. این مطلب حتی در 3<γ<4 که در آن گذار تراوش در آستانه f_c رخ می‌دهد، نیز صدق می‌کند. رفتار میدانی پیش‌بینی‌شده برای تراوش در ابعاد متناهی که برای شبکه‌های تصادفی باعث خرابی تصادفی می‌شود، تنها در γ>4 مشاهده می‌شود.

بخش ۸.۱۱
مباحث پیشرفته 8.B
معیار Molloy-Reed

هدف این بخش رسیدن به معیار Molloy-Reed است که به ما اجازه محاسبه آستانه تراوش شبکه دلخواه را می‌دهد [۶]. برای اینکه یک مؤلفه بزرگ وجود داشته باشد، هر گره متصل به آن باید حداقل به‌طور میانگین به دو گره دیگر متصل باشد (شکل ۸.۸). بنابراین میانگین درجه k_i گره i که به‌طور تصادفی انتخاب‌شده و بخشی از مؤلفه بزرگ است، باید حداقل ۲ باشد. P(k_i | i ↔ j) را به‌عنوان احتمال شرطی که یک گره در شبکه با درجه k_i به گره j که بخشی از مؤلفه بزرگ است، متصل باشد، مشخص می‌کنیم. این احتمال شرطی به ما اجازه می‌دهد که درجه مورد انتظار گره i را به شکل زیر تعیین کنیم [۵۱]:

به‌بیان‌دیگر P(k_i | i ↔ j) باید بزرگ‌تر یا مساوی ۲ باشد، که شرط این است که گره i بخشی از مؤلفه بزرگ باشد. می‌توانیم احتمال را به شکل زیر بنویسیم:

که در آن از نظریه بیز استفاده کرده‌ایم. برای شبکه‌ای با توزیع درجه‌ای p_k در غیاب همبستگی درجه می‌توانیم بنویسیم:

که این واقعیت را نشان می‌دهد که می‌توانیم از بین N-1 گره هرکدام را با احتمال 1/(N-1) انتخاب کنیم، و می‌توانیم k_i بار امتحان کنیم. حال می‌توانیم به (8.26) برگردیم و به عبارت زیر برسیم:

که به کمک آن به معیار Molloy-Reed (۸.۴) می‌رسیم، که شرط وجود مؤلفه بزرگ را به شکل زیر نشان می‌دهد:

بخش ۸.۱۲
مباحث پیشرفته 8.C
آستانه بحرانی تحت خرابی‌های تصادفی

هدف این بخش رسیدن به رابطه (۸.۷) است، که یک آستانه بحرانی را برای حذف تصادفی گره ارائه می‌دهد [۷،۵۱]. حذف تصادفی کسر f از گره‌ها دو نتیجه دارد:

• این اتفاق درجه تعدادی از گره‌ها را تغییر می‌دهد، چراکه گره‌هایی که قبلاً متصل به گره‌های حذف‌شده بودند، تعدادی از پیوندهایشان را از دست می‌دهند [k → k’ ≤k].
• درنتیجه توزیع درجه‌ تغییر می‌یابد، چراکه درجه همسایه‌های گره‌های ازدست‌رفته تغییر می‌کند. [p_k → p'_k'].

مشخصاً، پس از اینکه به‌طور تصادفی کسر f از گره‌ها را حذف می‌کنیم، یک گره با درجه k با احتمال زیر به یک گره با درجه k’ تبدیل می‌شود:

اولین جمله وابسته به f در عبارت (۸.۳۱) برای این است که گره انتخاب‌شده (k-k’) پیوند را، هرکدام با احتمال f از دست می‌دهد. جمله بعدی بدین‌جهت است که حذف گره، k’ پیوند را هرکدام با احتمال (1-f) دست‌نخورده باقی می‌گذارد.

احتمال اینکه در شبکه اولیه گره با درجه k داشته باشیم، برابر است با p_k. احتمال اینکه یک گره جدید با درجه k’ در شبکه جدید داشته باشیم، برابر است با:

فرض کنید که < k > و < k²> را برای توزیع درجه‌ای pk بدانیم. هدف ما محاسبه < k’ > و < k'²> برای توزیع درجه‌ای جدید p'_k' است که پس از حذف تصادفی کسر f از گره‌ها به‌دست‌آمده است. بدین منظور، خواهیم داشت:

جمع بالا در مثلث شکل ۸.۲۳ نشان داده شده است. می‌توانیم چک کنیم که اگر ترتیب جمع‌ها را عوض کنیم، همان جمع اجرا می‌شود:

بنابراین به رابطه زیر می‌رسیم:

این رابطه، < k’ > پس از حذف تصادفی کسر f از گره‌ها را به < k > اصلی ربط می‌دهد.

برای < k’2> محاسبه مشابهی را انجام می‌دهیم:

ترتیب جمع ها را تغییر می دهیم (شکل 8.28), به رابظه زیر می رسیم

بنابراین به رابطه زیر می‌رسیم:

که پس از حذف تصادفی کسر f از گره‌ها < k ^'2 > را به < k ² > ربط می‌دهد. بگذارید نتایج (۸.۳۵) و (۸.۳۸) را کنار یکدیگر قرار دهیم:

طبق معیار Molloy-Reed (۸.۴) آستانه خرابی طبق فرمول زیر محاسبه می‌شود:

با قرار دادن رابطه (۸.۳۸) و (۸.۴۰) در رابطه (۸.۴۱) به نتیجه نهایی زیر می‌رسیم:

که این رابطه آستانه خرابی شبکه را با p_k دلخواه تحت حذف تصادفی گره‌ها ارائه می‌دهد.

بخش۸.۱۳
مباحث پیشرفته 8.D
خرابی یک شبکه بی‌مقیاس متناهی

در این بخش رابطه (۸.۱۰) را برای وابستگی آستانه خرابی یک شبکه بی‌مقیاس به‌اندازه شبکه N محاسبه می‌کنیم. با محاسبه گشتاور mام قانون توان شروع می‌کنیم:

با استفاده از (۴.۱۸)

به رابطه زیر می‌رسیم:

برای محاسبه f_c نیاز داریم که نسبت را محاسبه کنیم

که برای Nهای بزرگ (و درنتیجه برای k_max بزرگ)به‌صورت زیر به γ وابسته است.

آستانه خرابی توسط رابطه (۸.۷) داده شده است:

که در آن k توسط رابطه (۸.۴۶) داده شده است. با جای¬گذاری (۸.۴۳) در (۸.۴۲) و (۸.۴۷) به رابطه زیر می‌رسیم:

که همان رابطه (۸.۱۰) است.

بخش ۸.۱۴
مباحث پیشرفته 8.E
تحمل حمله و خطای شبکه‌های واقعی

در این بخش منحنی‌های حمله و خطای ده شبکه مرجع بحث شده در جدول‌های 4.1 و (8..2) را بررسی می‌کنیم. منحنی‌های متناظر در شکل ۸.۲۹ نشان داده شده‌اند. بررسی آن‌ها، چندین الگو را آشکار می‌کند که نتایج بحث شده در این فصل را تأیید می‌کنند:

• برای تمام شبکه‌ها منحنی‌های خطا و حمله متفاوت هستند که ویژگی پاشنه آشیل را تأیید می‌کند (بخش ۸.۸): شبکه‌های واقعی در برابر خرابی‌های تصادفی تاب‌آور و در برابر حمله‌ها آسیب‌پذیر هستند.
• تفاوت بین منحنی‌های خطا و حمله به میانگین درجه و ناهمگونی هر شبکه بستگی دارد. برای مثال، برای شبکه‌های ارجاعات علمی و بازیگران مقدار fc برای حمله به‌جای مقادیر بزرگ در همسایگی ۰.۵ و ۰.۷۵ قرار دارد. این بدین دلیل است که این شبکه‌ها نسبتاً متراکم هستند و برای شبکه ارجاعات علمی مقدار < k > = 20.8 و برای شبکه بازیگران مقدار < k > = 83.7 است. بنابراین این شبکه‌ها می‌توانند تحت حذف کسر بالایی از هاب‌ها سالم بمانند.

بخش ۸.۱۵
مباحث پیشرفته 8.F
آستانه حمله

هدف این بخش رسیدن به رابطه (۸.۱۲) است که آستانه حمله در شبکه بی‌مقیاس را ارائه می‌دهد. ما می‌خواهیم مقدار f_c را برای یک شبکه بی‌مقیاس غیر همبسته محاسبه کنیم که با مدل پیکربندی با p_k = c k^-γ که در آن k = k_min , ... , k_max و c ≈ (γ-1)/(k_min^-γ+1 - k_max^-γ+1 )

حذف کسری از گره‌ها با ترتیب نزولی درجه‌هایشان (حذف هاب‌ها) دو اثر دارد [۹.۵۱]:

1. ماکزیمم درجه شبکه از k_max به k'_max تغییر می‌کند.
2. پیوندهای متصل به هاب‌های حذف‌شده هم حذف می‌شوند، که توزیع درجه شبکه باقیمانده را تغییر می‌دهد.

شبکه منتج ناهمبسته است، بنابراین می‌توانیم از معیار Molly-Reed برای تعیین وجود مؤلفه بزرگ استفاده کنیم.

با در نظر گرفتن تأثیر (i) شروع می‌کنیم. برش جدید k'_max از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

اگر فرض کنیم که k_max « k'_max و k_max « k_min باشد (که برای شبکه‌های بی‌مقیاس بزرگ با برش طبیعی برقرار است)، می‌توانیم از جملات kmax صرف‌نظر کنیم، و به رابطه زیر برسیم:

که به رابطه زیر منجر می‌شود:

معادله (۸.۵۲) ماکزیمم درجه جدید را پس از حذف کسر f از هاب‌ها ارائه می‌دهد.

سپس به (ii) برمی‌گردیم، حذف هاب می‌تواند توزیع درجه را به شکل p_kà p'_k تغییر دهد. در غیاب همبستگی درجه‌ای فرض می‌کنیم که پیوندهای هاب‌های حذف‌شده به گره‌هایی به‌صورت تصادفی متصل شده‌اند. درنتیجه، کسر پیوندهایی که به‌طور تصادفی حذف شده‌اند، f، را به‌عنوان نتیجه حذف کسر f از هاب‌ها محاسبه می‌کنیم: $\tilde f = \frac{{\int\limits_{k'_{\max } }^{k_{\max } } {kp_k dk} }}{{\left\langle k \right\rangle }} = \frac{1}{{\left\langle k \right\rangle }}c\int\limits_{k'_{\max } }^{k_{\max } } {k^{ - \gamma + 1} dk} = \frac{1}{{\left\langle k \right\rangle }}\frac{{1 - \gamma }}{{2 - \gamma }}\frac{{k_{\max }^{' - \gamma + 2} - k_{\max }^{ - \gamma + 2} }}{{k_{\min }^{ - \gamma + 1} - k_{\max }^{ - \gamma + 2} }} \hspace{20 mm} (8 . 53)$